-
设f(x)=,g(x)=x3+x4,则当x→0时,f(x)是g(x)的( ).
-
设f(x)有连续的导数,f(x)=0,f′(0)≠0,F(x)=,且当x→0时F′(x)与xk是同阶无穷小,则k等于( ).
-
函数在[-π,π]上的第一类间断点是x=( ).
-
设f(x)和g(x)在 (-∞,+ ∞)内可导,且f(x)<g(x),则必有( ).
-
设在区间(-∞,+∞)内函数f(x)>0,且当k为大于0的常数时有则在区间(-∞,+∞)内函数f(x)是( ).
-
是( ).
-
设f(x)在(-∞,+∞)内可导,且对任意x2>x1,都有f(x2)>f(x1),则正确的结论是( ).
-
设,则f(x) =( ).
-
设f(x),g(x)定义在(-1,1)上,且都在x=0处连续,若,则( ).
-
设<a<b,则,则( ).</a<b,则
-
“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,恒有|xn-a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( ).
-
下列极限存在的是( ).
-
( ).
-
若f(x)=0,则( ).
-
当x→0时,f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小,则( ).
-
设函数f(x)在(-∞,+∞)内单调有界,{xn}为数列,下列命题正确的是( ).
-
设x→0时,etanx-ex与xn是同阶无穷小,则n为( ).
-
当x→0+时,与等价的无穷小量是( ).
-
若,则必有( ).
-
已知,则必有( ).
-
当x→0时,变量是( ).
-
函数f(x)=xsinx( ).
-
设函数,则下列结论成立的是( ).
-
函数的可去间断点的个数为( ).
-
设函数,则f(x)有( ).
-
( ).
-
( ).
-
设当时,是比高阶的无穷小,而是比高阶的无穷小,则正整数n为( )。
-
f(0)=0,则C=( ).
-
( ).
-
已知f(x)和g(x)在x=0点的某邻域内连续,且x→0时f(x)是g(x)的高阶无穷小,则当x→0时,( ).
-
( ).
-
设函数在内连续,且,则常数a、b满足( )。
-
若(其中a为大于0的常数),则必有( )。
-
设f(x)=2x+3x-2,则当x→0时( ).
-
当x→0时,f(x)是g(x)的( ).
-
( ).
-
( ).
-
则当x→x0时,f(x)g(x)为( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
设函数,则( ).
-
单调有界函数若有间断点,则其类型为( ).
-
( ).
-
( ).
-
??则是的??( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
设f(x)和φ(x)在(-∞,+∞)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)≠0,φ(x)有间断点,则( ).
-
下列说法正确的是( ).
-
( ).
-
下列命题中正确的是( ).
-
若a>0,b>0均为常数,则---------------
-
已知当x→0时,是等价无穷小,则常数a=--------------.
-
已知,则--------------.
-
--------------.
-
设f(x)=,且点x=0是f(x)的可去间断点,则α=----------,β=----------.
-
已知函数f(x)的定义域为[0,4],则函数φ(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域为----------.
-
设f(x)=ex,f[g(x)]=1-x2,则g(x)=------------.
-
设f(x)=sinx,f[φ(x)]=1-x2,则φ(x)=----------,φ(x)的定义域为-----------.
-
---------------.
-
-------------------.
-
--------------.
-
---------------.
-
-----------------.
-
---------------.
-
----------------.
-
---------------.
-
----------------.
-
-----------------.
-
-----------------.
-
----------------.
-
-----------------.
-
-----------------.
-
-----------------.
-
若x→0时,[(1–ax2)1/4 -1]与xsinx是等价无穷小,则a=---------------.
-
在(-∞,+∞)内连续,则a=----------------.
-
---------------.
-
----------------.
-
--------------------.
-
函数有无穷型间断点x=0,有可去间断点x=1,则a=---------------,b=-------------.
-
则a=--------------,b=---------------.
-
----------------.
-
----------------.
-
--------------.
-
----------------.
-
-----------------.
-
当x→0时,f(x)~g(x),则a=------------,b=---------------.
-
---------------.
-
a=-----------------,b=---------------.
-
--------------------.
-
------------------.
-
----------------.
-
----------------.
-
-------------------.
-
--------------.
-
----------------.
-
--------------.
-
当x→0时,α(x)=kx2与是等价无穷小,则k=--------------.
-
--------------------.
-
------------------.
-
--------------------.
-
-------------------.
-
求极限
-
求极限
-
求极限
-
求极限
-
求极限
-
求极限
-
求极限
-
求极限
-
求极限
-
求函数的间断点。
-
设[u]表示不超过u的最大整数,判别是否存在,以及是否存在?
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-
-
求下列各极限
-
求下列各极限
-
求极限
-
求下列各极限
-
求下列各极限:
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并指出间断点的类型.
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运用导数的知识作函数的图形.
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拉格朗日中值定理.
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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可微,若a≥0,证明在(a,b)内存在三个数x1、x2、x3,使
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-
-
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-
-
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-
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设f(x)为二次多项式,若t1、t2、t3是[O,1]上的三个不相同的点,证明:存在唯一一组常数A1、A2、A3使
-
-
设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且存在常数k与α>1,使|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|α对任意x1、x2成立.证明:f(x)=c (-∞<x<+ ∞,c 为常数).
-
设0<x<1,证明:
-
-
-
-
-
-
当a>1、n≥1时,证明:.
-
设a>0,b>0,证明:ab+ba>1
-
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-
-
-
-
-
-
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且对于(a,b)内一切x有f′(x)g(x)-f(x)g′(x)≠0.证明:如果f(x)在(a,b)内有两个零点,则介于两个零点之间,g(x)至少有一个零点.
-
函数y=|π2-x2|sin2x的不可导点个数为( ).
-
若f(x)=-f(-x),在(0,+∞)内f′(x)>0,f″(x)>0,则在(-∞,0)内( ).
-
奇函数f(x)在闭区间[-1,1]上可导,且|f′(x)|≤M(M为正常数),则必有( ).
-
设f(x)在x=0的某邻域内有连续的四阶导数,且当x≠0时,f(x)≠0,同时在x=0处连续,则必有( ).
-
若x→0时,的导数与x2为等价无穷小,则f′(0)等于( ).
-
曲线( ).
-
设y=f(x)满足关系式y″-2y′+4y=0,且f(x0)>0,f′(x0)=0,则f(x)在x0点处( ).
-
设f(x),g(x)具有任意阶导数,且满足则( ).
-
设f(x)为连续函数,且f(0)=0,f′(x)>0,则y=F(x)在(0,+∞)内是( ).
-
已知f(x)在[a,b]上二阶可导,且f′(x)≠0,问在下列的哪个条件下,能保证至少存在一个ξ∈(a,b),使f″(ξ)+f(ξ)=0.( )
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
若f(x)在x0点可导,则|f(x)|在点x0点处( ).
-
已知函数f(u)可微,且y=f(esecx),
4个结论中正确的是( ).
-
( ).
-
若f(x)=xsin|x|,则( ).
-
下列结论中正确的是( ).
-
函数y=f(x)在x点可微的充要条件是( ).
-
设函数f(x)在点x=a处可导,则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
f(x)在x=0处( ).
-
( )
-
( ).
-
若f(x)是在(-∞,+∞)内可导的以l为周期的周期函数,则f′(ax+b)(a≠0,a、b为常数)的周期为( ).
-
( ).
-
点(-4,0)处的法线方程为( ).
-
则曲线y=f(x)在(-1,2)处的切线方程为( ).
-
(-∞,0)内( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
若函数f(x)对任意实数x1、x2均满足关系式f(x1+x2)=f(x1)f(x2).且f′(0)=2,则必有( )
-
函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导的点的个数是( ).
-
设f(x)可导,F(x)=f(x)[1-|ln(1+x)|],则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的( ).
-
( ).
-
( ).
-
设f(x)在x=a处可导,则①|f(x)|在x=a处可导;②|f(x)|在x=a处连续;③f(x)f′(x)在x=a处连续;④[f(x)]2在x=a处可导四个命题中正确的有( ).
-
设函数f(x)=|x3-1|φ(x),其中φ(x)在x=1处连续,则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的( ).
-
设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是( ).
-
设f(0)=0,则f(x)在x=0可导的充要条件为( ).
-
是( )
-
设函数f(x)在区间(-δ,δ)内有定义,若当x∈(-δ,δ)时恒有|f(x)|≤x2,则x=0必是f(x)的( )
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
设f(x)在(-∞,+∞)内可导,则下列命题正确的是( )
-
设f(x)处处可导,则( )
-
( ).
-
若函数f(x)在区间(a,b)内可导,x1和x2是区间(a,b)内任意两点(x1<x2),则至少存在一点ξ,使( )
-
( ).
-
( ).
-
若对一切x∈(0,+∞),函数f(x)的一、二阶导数均存在,且有则对任意正常数a,必有( )
-
线与x轴交点的横坐标是( )
-
设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数,且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当a<x<b时有( )
-
( ).
-
设f(x)=xsinx+cosx.下列命题中正确的是( ).
-
( ).
-
( ).
- 存在,则( )
-
若f(x)和g(x)在x=x0处都取得极小值,则函数F(x)=f(x)+g(x)在x=x0处( )
-
设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值,则F(x)=f(x)g(x)在x=a处( )
-
( ).
-
函数f(x)=x3+2x+q的零点的个数为( ).
-
当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰有两个不同的零点( ).
-
设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内可导,则( ).
-
( ).
-
下列命题中正确的是( ).
-
设雨滴为球体状,若雨滴聚集水分的速率与表面积成正比,则在雨滴形成过程中(一直保持球体状),雨滴半径增加的速率( ).
-
设函数f(x)在x=a的某个邻域内连续,且f(a)为极大值,则存在δ>0,当x∈(a-δ,a+δ)时,必有( )
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
已知函数f(x)在区间(1-δ,1+δ)内具有二阶导数,f″(x)<0,且f(1)=f'(1)=1,则( )
-
( ).
-
( ).
-
设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图形如图所示.则导函数y=f′(x)的图形为( )
-
设函数f(x)在(一∞,+∞)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有( )
-
曲线y=(x-l)2(x-3)2的拐点的个数为( )
-
设函数f(x)在点x=O的某邻域内具有连续的二阶导数,且f′(0)=f″(0)=0,则( ).
-
设f′(x0)=f″(x0)=0,f′″(x0)>0,且f(x)在x0点的某邻域内有三阶连续导数,则下列选项正确的是( ).
-
设f(x)=|x(1-x)|,则( ).
-
设f(x),g(x)在点x=0的某邻域内连续,且f(x)具有一阶连续导数,并有则( )
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
在(0,+∞)内f(x)( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
结论正确的是( )
-
设函数f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x+100),则f′(1)=------------.
-
设函数f(x)在点x=0可导,且f(0)=0,则-----------.
-
设,则----------.
-
设f(x)有一阶连续导数,且f(x)=0,f′(0)=1,则-------------.
-
设f(x)为单调二阶可导函数,其反函数为g(x),且已知f(1)=2,1,则g″(2)=------------.
-
函数y=x2-lnx2的单调减区间是------------.
-
已知f(x)=x3+ax2+bx在x=-1处取得极小值-2,则a=------------,b=-----------.
-
当x=-----------时,函数y=x·2x取得极小值.
-
曲线的斜渐近线方程为----------.
-
曲线y=x2(1-x)在点(1,0)处的曲率k=------------.
-
若物体的运动规律为s=3sin2t,则其在t=0时的速度等于------------,加速度为-------------.
-
-----------.
-
--------------.
-
------------.
-
--------------.
-
-------------.
-
------------,b=------------.
-
------------.
-
-----------.
-
设方程x=yy确定y是x的函数,则dy=-------------.
-
设y=f(lnx)ef(x),其中f可微,则dy=-----------.
-
------------.
-
------------.
-
------------.
-
函数y=f(x)是由方程xy+2lnx=y4所确定,则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为-------------.
-
-----------.
-
-----------.
-
-----------.
-
-------------.
-
--------------.
-
-------------.
-
--------------.
-
-----------.
-
=-----------.
-
-----------.
-
----------.
-
------------.
-
-------------.
-
设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=-------------.
-
--------------.
-
--------------.
-
-------------.
-
-------------.
-
--------------.
-
----------------.
-
--------------.
-
-------------.
-
------------.
-
-------------.
-
------------.
-
--------------.
-
-------------.
-
-------------.
-
-------------.
-
-------------.
-
-------------.
-
-----------.
-
------------.
-
------------.
-
-----------.
-
--------------.
-
-------------.
-
------------.
-
设f(x)=(x-a)nφ(x),其中函数φ(x)在点a的某邻域内具有n-1阶导数,则f(n)(a)=------------.
-
-----------.
-
-------------.
-
---------------.
-
---------------.
-
-----------.
-
-------------.
-
-------------.
-
函数y=x3-3x的极大值点是-------------,极大值是------------.
-
已知f(x)=x3+ax2+bx在x=1处取得极小值-2,则a=-----------,b=------------.
-
-------------.
-
------------.
-
------------.
-
某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=ae-P,其中a为正常数,则需求对价格P的弹性η(η>0)等于-------------.
-
设商品的需求函数为Q=100-5P,其中Q、P分别为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是-----------.
-
--------------.
-
------------.
-
--------------.
-
-------------.
-
------------.
-
------------.
-
------------.
-
--------------.
-
-------------.
-
设曲线f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c都通过点(-1,0),且在该点处有公共切线,则a=--------,b=-----------,c=------------.
-
-----------.
-
-------------.
-
-------------.
-
----------.
-
围为----------.
-
设生产函数为Q=ALαKβ,其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量,而A,α,β均为大于零的常数,则当Q=1时,K对于L的弹性为--------------.
-
-----------.
-
设某产品的需求函数为Q=Q(p),其对价格p的弹性εp=O.2,则当需求量为10000件时,价格增加1元会使产品收益增加-------------元.
-
------------.
-
曲线y=lnx在点--------------处曲率半径最小.
-
--------------.
-
设f(x)=xex,则函数f(n)(x)在x=-----------处取最小值------------.
-
-------------.
-
-------------.
-
=------------.
-
-------------.
-
设f(x)在区间[0,+∞)内二阶可导且在x=1处与曲线y=x3-3相切,在(0,+∞〉内与曲线.y=x3-3有相同的凹向,则方程f(x)=0在(1,+∞〉内有-------------个实根.
-
设(1)求a的值使f(x)处处连续;(2)再求b的值使f(x)处处可导。
-
设函数y=y(x)由方程组确定,求
-
设f(x)具有二阶连续导数,f(a)=0,求g′(x),并证明g(x)的一阶导数在x=a点处连续。
-
设函数f(x)在x=0可导且f(0)=1,又设f(x)满足函数方程f(x+1)=2f(x),求f′(n),其中n是整数。
-
求证:设函数f(x),g(x)在点x=a可导,f(a)=g(a)=0且存在δ>0,使得当
-
设f(x)=(x-a)nφ(x),其中φ(x)在点a的某邻域内具有n-1阶导数,求f(n)(a).
-
设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f′(0)=0,f″(x)>0.在曲线y=f(x)上任意一点(x,f(x))(x≠0)处作此曲线的切线,次切线在x轴上的截距记为u,求
-
-
设函数,g(x)二次可导,满足函数方程g(x)=1,又0,则
-
设单调函数y=y(x)二次可导,且满足微分方程则其反函数x=x(y)满足方程
-
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b).证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)>0.
-
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f′(x)≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)=x.
-
设在[0,+∞]上函数f(x)有连续导数,且f′(x)≥k>0,f(0)<0,证明:在(0,+∞]内有且仅有一个零点。
-
假设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f′(x)≤0,记
-
设f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f(a)=f(b),证明至少存在一点ξ∈(a,b),使.
-
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)·f(b)>0,.试证:对任意实数k,
-
设x≥0,证明:
-
设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数f′(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少,f(0)=0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式
f(a+b)≤f(a)+f(b)
其中a,b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c.
-
证明方程在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同的实根
-
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足
-
-
-
设函数θ(x)在(-∞,+∞)内连续,f(x)=cosθ(x),f′(x)=sinθ(x).对θ(x0)≠nπ的x0,求θ′(x0).
-
设f(x)的定义域为所有非零实数之全体,对任何非零实数x、y,f(xy)=f(x)+f(y),且f′(1)存在.
(1)f(x)还有哪些点的导数存在?
(2)求f(x).
-
-
-
-
-
-
-
求f(0)、f′(0)、f″(0).
-
-
-
-
-
-
求曲线的凹凸区间和拐点。
-
(1)求函数y的单调区间及极值;
(2)求函数图象的凹凸区间及拐点;
(3)求函数图象的渐近线;
(4)作出函数的图形.
-
求曲线的渐近线.
-
若以A(k)表示函数y=x2-2kx在[-1,2]上的最大值与最小值之差,试求A(k)的最小值(-∞<k<+∞).
-
-
研究方程xlnx+A=0实根的个数.
-
设f(x)=a0+a1cosx+a2cos2x+…+ancosnx,其中a0,a1,a2,…,an都是实数,且an>|a0|+|a1|+…+|an-1|.讨论方程f(n)(x)=0实根的个数.
-
(m<n-1).试问x=x0是方程f(x)=0的多少重根?
-
设函数f(x)与g(x)在[0,1]上连续,且f(x)≤g(x),且对任何的c∈(0,1)( ).
-
设,则( ).
-
设为f(x)的一个原函数,且a≠0则等于( ).
-
若在[0,1]上有f(0)=g(0)=0,f(1)=g(1)=a>0,且f″(x)>0,g″(x)<0,则的大小关系是( ).
-
设a,b为常数,且,则( )。
-
sin2x的一个原函数是( ).
-
( ).
-
=( ).
-
若f(x)的导函数是e-x+cosx,则f(x)的一个原函数为( ).
-
( ).
-
设f(x)是连续的偶函数,则其原函数F(x)一定是( ).
-
若f(x)是以l为周期的连续函数,则其原函数( ).
-
( ).
-
( ).
-
=( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
必有( ).
-
以下四个命题中,正确的是( ).
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( ).
-
则有( ).
-
( ).
-
=( ).
-
下列反常(广义)积分收敛的是( ).
-
下列结论中正确的是( ).
-
下列反常(广义)积分发散的是( ).
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( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
=( ).
-
( ).
-
下列式中正确的是( ),其中.
-
下列各式不等于零的是( ).
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( ).
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( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
时=( ).
-
( ).
-
( ).(其中f有二阶连续导数)
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( ).
-
( ).
-
=( ).
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( ).
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( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
把x→0+时的无穷小量排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的是排列次序是( ).
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( ).
-
设函数f(x)连续,则下列函数中必为偶函数的是( ).
-
设f(x)是奇函数,除x=0外处处连续,x=0是其第一类间断点,则是( ).
-
f(x)是在(一∞,+∞)内以T为周期的函数,下列函数中以T为周期的函数是( ).
-
( ).
-
设f(x)在(-∞,+∞)内连续,则( )为正确的.
-
( ).
-
内( ).
-
( ).
-
(0,+∞)内是( ).
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下列积分中可表示单位圆面积的四分之一的是( ).
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( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
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( ).
-
( ).
-
( ).
-
矩形闸门的一边恰与水面相齐,且此闸门垂直于水面,过闸门的中心作水平线将矩形分为面积相等的上、下两部分,设上部所受的压力为P1,下部所受压力为P2,则( ).
-
( ).
-
如图,连续函数y=f(x)在区间[-3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[-2,O],[0,2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周.设则下列结论正确的是( ).
-
心形线r=4(1+cosθ),直线所围图形绕极轴旋转而成旋转体的体积为( ).
-
设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且g(x)<f(x)<m(m为常数),则曲线y=g(x),y=f(x),x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为( ).
-
两个半径为a的直交圆柱体公共部分的体积V=( ).
-
( ).
-
横断面积为S、深为h的水池中装满了水,把池中的水全部抽到距地面高为H的水塔中所作的功w=( ).
-
x轴上有一根密度为常数μ、长度为l的细杆,有一质量为m的质点到杆右端(原点处)的距离为a,若引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为( ).
-
设f(x)连续,且,则f(7)=---------.
-
=----------.
-
=-----------.
-
已知则------------.
-
--------------.
-
-------------.
-
------------.
-
------------.
-
-----------.
-
-------------.
-
-----------.
-
------------.
-
------------.
-
--------------.
-
-----------.
-
----------.
-
------------.
-
-------------.
-
---------------.
-
--------------.
-
------------.
-
-------------.
-
-------------.
-
-------------.
-
若,则A=-----------,B=------------.
-
---------------.
-
--------------.
-
已知f′(2+cosx)=sin2x+tan2x,则f(x)=----------------.
-
---------------.
-
=----------.
-
------------.
-
-------------.
-
------------.
-
--------------.
-
------------.
-
-------------,其中f(x)连续.
-
-------------.
-
-----------.
-
-------------.
-
-------------.
-
-------------.
-
-----------.
-
---------------.
-
-------------.
-
----------------.
-
--------------.
-
---------------.
-
-------------.
-
--------------.
-
------------.
-
-------------.
-
-------------.
-
------------.
-
--------------.
-
---------------.
-
设实数a>0,则当a=-------------时,积分最大.
-
=-------------.
-
------------.
-
--------------.
-
---------------.
-
--------------.
-
-------------.
-
------------.
-
------------.
-
---------------.
-
--------------.
-
--------------.
-
--------------.
-
------------.
-
--------------.
-
--------------.
-
----------,其中φ(x)可导,f(x)连续.
-
----------------.
-
---------------.
-
-------------.
-
----------------.
-
抛物线y=x(x-a)(a>0)与直线y=x所围图形的面积为--------------.
-
-------------.
-
--------------.
-
--------------.
-
-------------.
-
于----------.
-
为--------------.
-
--------------.
-
一弹簧压缩xcm需力4x牛顿,将它从原长压缩5cm外力所作的功为--------------焦耳.
-
------------.
-
----------------.
-
为---------------.
-
--------------.
-
为-------------.
-
------------.
-
-------------.
-
------------.
-
-------------.
-
-----------------.
-
--------------.
-
-
设f(x)为连续奇函数,且
-
-
-
-
求函数在区间[e,e2]上的最大值.
-
求极限
-
已知f(x)连续,,求.
-
求极限
-
设曲线方程为y=e-x(x≥0).
(1)把曲线y=e-x(x≥0)与x轴y轴和直线x=ξ(ξ>0)所围成平面图形绕x轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体的体积V(ξ)及满足的a.
(2)在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积。
-
-
-
-
-
F(x)≥0,求f(x).
-
.
-
计算下列定积分:
-
-
-
-
不恒等于O的连续函数f(x)(x∈(-π,π))满足求
-
-
-
计算下列定积分:
-
-
计算下列反常(广义〉积分:
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-
求F(x)在[-a,a]上的最小值.
-
在第一象限内,求曲线y=-x2+1上的一点,使该点处切线与所给曲线及两坐标轴围成的图形面积为最小,并求最小面积.
-
设曲线L1:y=1-x2(0≤x≤1)与z轴和y轴所围成的图形被曲线L2:y=ax2分成面积相等的两部分,其中a是大于O的常数,求a.
-
设M0曲线上的定点,M为其上任意一点,已知这两点与原点O连线段和曲线所围成的曲边扇形的面积的值等于这两点间弧长的值的一半,求此曲线的方程.
-
抛物线y=ax2+bx+c(a<0)满足条件:通过点(0,0)和(l,2),且与抛物线y=-x2+2x围成的图形的面积最小.求a、b、c的值.
-
已知曲线(a>0)与曲线,G在M0(x0,y0)处有公切线,求:
(1)常数a及切点(x0,y0);
(2)两曲线与x轴围成的平面图形绕x旋转所得旋转体的体积.
-
设抛物线y=ax2+bx+c过点(0,0),且当x∈[O,l]时y≥0,试确定a、b、c的值,使得抛物线y=ax2十bx+c与直线x=l,y=O所围图形的面积为,且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小.
-
求曲线r=a(l+cosθ)(a>0)所围成的图形绕极轴旋转一周所得旋转体的体积.
-
求曲线绕x轴旋转一周所产生的旋转曲面的面积.
-
求曲线4x2+y2=4绕y轴旋转一周所产生的旋转曲面的面积.
-
由抛物线ay=a2-x2(a>0)及x轴所围成的图形绕x轴旋转构成一旋转体,求其表面积与和它等体积的球的表面积之比.
-
有一半径为a的球,其中心在一底半径为的正圆柱面上.试求界于球内的那部分圆柱面的表面积.
-
从原点向椭球面的切平面作垂线,求垂足的轨迹方程.
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
已知,则( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
若有( ),则必存在.
-
( ).
-
的( ).
-
二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是( ).
-
设z=x3-3x+y2,则它在点(1,0)处( ).
-
函数在点(0,0)处( ).
-
设函数z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydy,则点(0,0)( ).
-
( ).
-
函数在点(0,1)处的梯度等于( ).
-
设u=2xy-z2,则u在点(2,-1,1)处的方向导数的最大值为( ).
-
设k为常数,则( ).
-
下列二元函数中,在全平面上连续的是( ).
-
以下关于二元函数的连续性的说法正确是( ).
-
条件下的一个极值点,下列选项正确的是( ).
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( ).
-
( ).
-
等于( ).
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设u=f(x+y,xz)有二阶连续偏导数,则=( ).
-
则必有( ).
-
阶连续偏导数,则=( ).
-
( ).
-
考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:
质P推出Q,则有( ).
-
下列结论正确的是( ).
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函数在(0,0)点( ).
-
此邻域内该方程( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值,下列结论正确的是( ).
-
( ).
-
设函数f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且,则( ).
-
曲面z=x+f(y-z)的任一点处的切平面( ).
-
切,则π的方程为( ).
-
曲面上任一点的切平面在坐标轴上的截距的平方和为( ).
-
( ).
-
设函数u(x,y)二阶连续可微,并且满足,令ξ=x-y,η=x+y,则必有( ).
-
已知为某函数的全微分,则a等于( ).
-
二元函数在点(0,0)处( ).
-
已知函数的全微分df(x,y)=(3x2+4xy-y2+1)dx+(2x2-2xy+3y2-1)dy,则f(x,y)等于( ).
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------------.
-
------------.
-
--------------.
-
--------------.
-
=-------------.
-
-------------.
-
---------------.
-
---------------.
-
-------------.
-
-------------.
-
----------------.
-
----------------.
-
设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y),则dz|(1,0)--------------.
-
=------------.
-
--------------.
-
曲面x2+2y2+3z2=21在点(1,-2,2)的法线方程为------------.
-
曲面z-ez+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面方程为---------------.
-
-----------------.
-
---------------.
-
------------.
-
--------------.
-
-------------.
-
---------------.
-
-------------.
-
------------.
-
微分dz=--------------.
-
方程为-------------.
-
----------.
-
的切线的平面方程为------------.
-
=------------.
-
数为-------------.
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设f(x,y)=ax+by,其中a,b为常数,则f[xy,f(x,y)]=------------.
-
--------------.
-
-------------.
-
设函数z=z(x,y)由方程z=e2x-3z+2y确定,则--------------.
-
设u=xcosy+yex,则在点处的值为---------------.
-
设具有二阶连续导数,则--------------.
-
由方程所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz=--------------.
-
设向量,且二元可微函数f(x,y)在点P处有17,则df|P=--------------.
-
设z=f(x2-y2,exy),其中f具有连续二阶偏导数,求
-
设,其中f具有连续二阶偏导数,求
-
设函数z=f(x,y)在点(1,1)处可微,且求.
-
设y=y(x),z=z(z)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求
-
设u=f(x,y,z),φ(x2,ey,z)=0,y=sinx,其中f,φ都具有一阶连续偏导数,且求
-
设函数f(x,y)有二阶连续偏导,满足,并且存在一元函数h,使,求f(x,y).
-
求f(x,y)=xy在圆周L:(x-1)2+y2-1=0上的最大值和最小值。
-
设某种产品欲投入两种要素,K和L分别是两种要素的投入量,其价格分别为常数PK和PL,Q为产品的产出量。设生产函数,其中A>0,α>0为常数,a和b是参数,且满足a+b=1。当成本为M时,试确定两种要素的投入量,以使产量Q达到最高。
-
其中f有一阶连续偏导数
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若函数f(x,y,z)恒满足关系式f(tx,ty,tz)=tkf(x,y,z)就称为k次齐次函数,验证k次齐次函数满足关系式(其中f存在一阶连续偏导数)
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-
-
设z=z(x,y)是由方程x2+y2-z=φ(x+y+z)所确定的函数,其中φ具有二阶导
-
求z对x的二阶导数.
-
设函数z=z(x,y)的均存在且连续,试用变换把
-
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又div(gradu)=0,求函数值u(1,1,1).
-
z=z(x,y)的极值.
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向宽a米的河修建一宽为b米的运河,二者成直角相交,求能驶进运河的船的最大长度.
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作半径为r的球的外切正圆锥,求此圆锥的高h为何值时其体积V最小,并求此最小值.
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已知平面曲线l的方程为(x2+y2)2=8x,考虑把l围在内部且各边平行于坐标轴的矩形,试求这些矩形中面积最小者,并求此时矩形的面积.
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过椭圆3x2+2xy+3y2=1上任意点作椭圆的切线,试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值.
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在旋转椭球面2x2+y2+z2=1上求距离平面2x+y-z=6的最近点、最远点,最近距离和最远距离.
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有一圆台形的桶盛满了汽油.桶高3米,上、下底半径分别为1米及2米,求将桶中汽油吸尽需作多少功(汽油密度γ=800kg/m3).
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边长为a米的正方形薄片直立地沉没于水中,它的一个顶点位于水平面而一对角线与水面平行,求薄片的一侧所受的压力.
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设有一长度为L,线密度为ρ的均匀细直棒,在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点N,试求细棒对质点N的引力.
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设有一半径为R、中心角为φ的圆弧形细棒,其线密度为常数ρ,在圆心处有一质量为m的质点N,求细棒对质点N的引力.
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有一底面圆半径为R、高为H的正圆柱体(密度为ρ),在其中心轴上高出上底为α处有一质量为m的质点,求此柱体对该质点的引力.
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求该物体的形心。
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求图形y2=2px,0≤x≤a绕x轴旋转所成旋转体的质心(设密度ρ=1).
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求旋转抛物面∑:Z=x2+y2介于O≤z≤1的部分(面密度为1)绕z轴的转动惯量.
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设某商品的价格P与需求量Q之间具有线性关系.当价格从2元上升到4元时,产品的需求量从1000件降到800件.求此商品的需求弹性,并问在什么价格范围内该商品是富有弹性的,在什么价格范围内该商品是缺乏弹性的?
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如果生产两种产量为z和y的商品的总成本函数为C(x,y)=15+2x2+xy+5y2(元),试求边际成本函数,并求x=3、y=6单位时的边际成本,说明其意义.
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某企业购置一台设备需投资成本1000万元,在10年中每年收益200万元,若连续利率为5%,假设所购置的设备十年后完全失去价值,求收益的资本价值(收益的资本价值即总收益的现值减去投资额).
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某公司销售某种电视机x台,总销售成本为C(百元),边际销售成本为C′(x)=6,固定成本50(百元).该电视机的售价P可根据市场的需求浮动.经市场调查知最大需求量为1000台,且需求对价格的变化率为.销售量为多少时总利润最大?此时每台电视机的单价为多少?最大利润为多少?
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某汽车公司在长期运营中发现:每辆汽车的总维修成本y随汽车大修的时间间隔x的变化率等于总维修成本的两倍与大修的时间间隔之比减去81与大修时间间隔的平方之比的差.己知当大修时间间隔x=1(年)时总维修成本y=27.5(百元),试求每辆汽车的总维修成本与大修的时间间隔x的函数关系,并问每辆汽车多少年大修一次,可使每辆汽车的总维修成本最低?
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求曲线y=e-xsinx的x≥0的部分与x轴所围成的图形的面积.
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一容器盛有的400升溶液中含有25kg盐.现以16升/分的速度向容器中注入每升含有1.5kg盐的溶液,并同时以8升/分的速度从容器中排出溶液(由于不停搅拌,容器中溶液的含盐量始终保持均匀),求7分钟后溶液中的含盐量.
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一质量为m的物体自空中落下,设空气的阻力的大小与落体的速度成正比(比例系数k>0),试求物体运动的路程与时间的函数关系.
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长度为d的链条放在水平无摩擦力的桌面上,且链条在桌边悬挂下来的长度为b,求重力使链条全部滑离桌面所需的时间.
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设u=f(x,y),v=F(x,y),其中f和F都是x和y的有一阶连续偏导数的函数.由此二式也确定了x和y都是u、v的有一阶连续偏导数的函数.证明:
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( ).
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设a,b为非零向量,且a⊥b,则必有( ).
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设三向量a,b,c满足关系a+b+c=0,则a×b=( )
-
( ).
-
直线与之间的关系是( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
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方程x2-y2-z2=4表示的旋转曲面是( ).
-
设三向量a,b,c满足关系a·b=a·c,则( ).
-
( ).
-
( ).
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向量a+2b垂直于a-4b,向量a+4b垂直于a-2b,则a与b之间的夹角为( ).
-
在平面x+y+z-2=O和平面x+2y-z-1=0的交线上有一点M,它与平面x+2y+z+1=0和x+2y+z- 3 = 0 等距离,则M 点的坐标为( ).
-
过点(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z-10=0又与直线相交的直线方程为( ).
-
直线( ).
-
( ).
-
设平面π位于平面x-2y+z-2=0和平面x-2y+z-6=0之间,且将二平面间的距离分成1:3,则π之方程为( ).
-
( ).
-
( ).
-
向量a={1,1,1},b={1,2,1},c={1,1,2}的关系正确的是( ).
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已知直线L1过点M1(0,0,-1)且平行于x轴,L2过点M2(0,0,1)且垂直于xOz平面,则到两直线等距离点的轨迹方程为( ).
-
( ).
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设A(1,2,3),B(-1,2,0),C(1,1,1)则-----------,------------,ΔABC的面积=-----------.
-
已知点P(2,-3,3),平面π:x+2y+4z-2=0,则点P到π的距离为----------,过点P且和π平行并与z轴相交的直线方程为------------.
-
点(2,-1,-1)到直线的距离为------------.
-
y轴上与点A(1,-3,7)、B(5,7,-5)等距离的点的坐标是-------------.
-
点(2,1,0)到3x+4y+5z=0的距离d=--------------.
-
若向量X与向量α={2,-1,2}共线,且满足方程a·X=-18,则X=-------------.
-
设={1,2,1},={-2,一1,1},则以,吉为边的平行四边形的面积为----------------.
-
-----------.
-
若a·b=0,a×c=0,则b·c=-------------.
-
过点M(1,2,-l)且与直线垂直的平面方程为--------------.
-
平行于平面5x-14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程为------------
-
已知球面的一条直径的两个端点为(2 ,-3,5) 和(4,1,-3),则该球面的方程为------------.
-
球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在yOz平面上的投影方程为-------------.
-
过x轴和点(1,-1,2)的平面方程为------------.
-
则过L1且与L2平行的平面方程为----------.
-
等分两平面x+2y-z-1=0和x+2y+z+1=0间的夹角的平面方程为------------.
-
相切的平面方程为------------.
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曲面和平面y=0的交线绕x轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为--------------.
-
------------.
-
------------.
-
设(a×b)·c=2,则[(a+b)×(b+c)]·(c+a)=------------.
-
已知向量a={-1,3,0},b={3,1,0},|c|=r,则当c满足条件a=b×c时,r的最小值为-----------.
-
由曲线绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点处指向外侧的单位法向量为------------.
-
=------------.
-
--------------.
-
点P(1,1,-1)关于平面z-2y+z-4=O对称的点Q的坐标是-------------.
-
从平面x-2y-2z+1=0上的点(7,-1,5)出发,作长等于12单位的垂线,则此垂线的端点坐标为-------------.
-
--------------.
-
设向量,求对应的单位向量以及的方向余弦,并求实数λ,μ满足什么条件才能使与z轴垂直.
-
求过直线,且与平面2x-y+5z+2=0垂直的平面方程.
-
求过点M(-1,0,1)且垂直于直线又与直线相交的直线方程.
-
设直线在平面π上,而平面π过点(1,-2,5)且垂直于直线,求a,b的值.
-
求通过直线且切于平面x2+y2+z2=4的平面方程。
-
设f(x,y)连续,且,其中D是由y=0,y=x2,x=1所围成的区域,则f(x,y)等于( ).
-
设,,则( ).
-
设f(x,y)是闭区域x2+y2≤a2上的连续函数,则极限为( ).
-
设函数f(x,y)连续,则二次积分等于( ).
-
若,则区域D为( ).
-
设S1表示上半球面x2+y2+z2=R2,z≥0的上侧,设S2表示下半球面x2+y2+z2=R2,z≤0的下侧。若曲面积分,则必有( ).
-
设S是抛物面z=x2+y2介于z=0,z=2之间的部分,则等于( ).
-
一均匀物体由z=x2+y2,z=1围成,则该物体的重心坐标为( ).
-
曲面积分数值上等于( ).
-
设,则( ).
-
变换积分次序为( ).
-
设函数f(x,y)连续,则二次积分等于( ).
-
若,则积分区域D为( ).
-
设函数f(u)连续,区域等于( ).
-
设f(x,y)为连续函数,则等于( ).
-
设平面区域D由直线围成,若,则I1,I2,I3之间的关系是( ).
-
设,其中D={(x,y)|x2+y2≤1},则( ).
-
设f(x,y)连续,且,其中D是由y=0,y=x2,x=1所围区域,则f(x,y)等于( ).
-
设f(x)是连续的奇函数,g(x)是连续的偶函数,区域,则以下结论正确的是( ).
-
如图,正方形{(x,y)||x|≤1,|y|≤1}被其对角线划分为四个区域( ).
-
设D:|x|+|y|≤1,则( ).
-
设,其中D由曲线x2+y2=a2所围,则I=( ).
-
,则I=( ).
-
设,其中Ω:x2+y2+z2≤1,则I=( ).
-
则( ).
-
有节闭区域Ω由平面围成,设,则( ).
-
ρ=x2y,则该薄片的质量为( ).
-
时成立的情况为( ).
-
( ).
-
( ).
-
( )..
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( )..
-
则I之值为( ).
-
等于( ).
-
设函数f(u)有连续导数,且f(0)=0,则等于( ).(其中Ω:x2+y2+z2≤t2)
-
( )..
-
( ).
-
设f(t)为连续函数,a是常数,则下列结论中正确的是( ).
-
球面x2+y2+z2=a2含在x2+y2=ax内部的面积S=( ).
-
位于两圆r=2sinθ,r=4sinθ之间质量均匀的薄板的形心坐标是( ).
-
则使I(t)最小的t值是( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
设曲线L是任意不经过y=0的区域D的曲线,为使曲线积分与路径无关,则a=( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
设,其中∑是平面x+y+z=1在第一卦限部分的上侧,则I=( ).
-
( ).
-
设平面曲线,l所围成的区域为D,l1与x轴围成的区域为D1,则下列各式成立的是( ).
-
( ).
-
( ).
-
下列曲线积分不能明确计算的是( ).
-
I值为( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
有物质沿曲线分布,其密度为,则它的质量m等于( ).
-
的正向运动一周,则场力F所作的功W=( ).
-
设S:x2+y2+z2=a2(z≥0),S1为S在第一卦限中的部分,则有( ).
-
( ).
-
( ),
-
所围成的闭曲面∑外侧的通量为( ).
-
设D是以点O(0,0),A(1,2),B(2,1)为顶点的三角形区域,则------------.
-
设,而D表示全平面,则I=-----------.
-
交换积分次序---------------.
-
积分的值等于-------------.
-
将积分化为极坐标形式计算-------------.
-
设L是x2+y2+z2=a2与x=y相交的圆周,则-------------.
-
设,是线密度为1的物质曲线,则关于z轴的转动惯量I=-------------.
-
设曲线积分在y>0的区域内与积分路径无关,则k=-------------.
-
若∑是球面x2+y2+z2=a2,则曲面积分------------.
-
设,则=-------------.
-
-------------.
-
-----------.
-
--------------.
-
------------.
-
------------.
-
-------------.
-
--------------.
-
------------.
-
------------.
-
-------------,
-
-------------.
-
---------------.
-
---------------(D:x2+y2≤1).
-
---------------.
-
----------------,
-
---------------.
-
---------------.
-
---------------.
-
--------------.
-
--------------.
-
--------------,其中D为:x2+y2≤x+y.
-
=------------,其中Ω为曲线绕z轴旋转一周而成曲面与平面z=2,z=8所围立体.
-
为-----------------.
-
设球体x2+y2+z2≤z的任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方,则此球的质心的竖坐标为--------------.
-
由椭圆抛物面z=x2+2y2与抛物柱面z=2-x2所围立体的体积为--------------.
-
-----------.
-
------------------.
-
----------------.
-
--------------,
-
--------------.
-
为----------------.
-
----------------,其中L为从点O(0,0)到点A(1,1)且在OA连线下方的任意简单曲线,它与直线OA所围图形的面积为S.
-
----------------,
-
--------------.
-
当a=-------------,b=-------------时,(ax2y-y2)dx+(x3+bxy)dy恰为函数u(x,y)=---------------的全微分.
-
--------------.
-
=--------------.
-
=---------------.
-
--------------.
-
数量场u=xyzex+y+z的梯度场的散度为------------.
-
---------------.
-
--------------.
-
--------------.
-
---------------,其中L为的正向.
-
--------------,其中L为上从点A(2,0)到点B(-2,0)的一段.
-
--------------,其中L:ρ=ρ(θ),θ1≤θ≤θ2,沿θ增大的方向.
-
---------------,其中曲面∑为x2+y2+z2=2ax(a>0).
-
---------------.
-
--------------,其中∑为x2+y2+z2=R2.
-
---------------,其中∑:x2+y2+z2=R2.
-
--------------.
-
---------------,
-
--------------.
-
设Ω是由锥面与半球面围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则--------------.
-
-------------.
-
=---------------.
-
---------------.
-
计算二重积分,其中D是由x轴、y轴与曲线所围成的区域a>0,b>0.
-
计算二重积分其中积分区域D={(x,y)|x2+y2≤π}.
-
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设
-
计算
-
计算二重积分
-
计算,其中Ω为球体x2+y2+(z-1)2≤1.
-
计算
-
计算
-
设,D是由x=0,y=0及x+y=t围成的区域,求
-
设f(t)为连续的奇函数,
-
选取a,b使表达式[(x+y+1)ex+aey]dx+[bex-(x+y+1)ey]dy为某一函数的全微分,并求出这个函数。
-
已知曲线微分,其中C为x2+y2=R2(R>0)的正向。(1)问R为何值时I=0;(2)问R为何值时I取得最大值?并求出最大值。
-
计算曲面微分,其中∑是正八面体|x|+|y|+|z|≤1的表面。
-
计算,其中∑为平面x+y+z=1在第一卦限部分的上侧。
-
计算,其中∑为平面x+y+z=1在第一卦限部分的上侧部分,cosα,cosβ,cosγ是∑上任一点(x,y,z)的法向量的方向余弦且cosγ<0.
-
试计算第二类曲面积分.
(1)∑:球面x2+y2+z2=R2;
(2)∑:不包含原点在其内部的光滑闭曲面;
(3)∑:含原点在其内部的光滑闭曲面。(∑均取外侧)
-
计算曲线积分,其中,从z轴正向往z轴看Г的方向是顺时针的。
-
计算,其中∑为z=ey(0≤y≤2)绕Oz轴旋转一周所形成的曲面的下侧。
-
设有一半径为a的物质球面,其上任意一点的密度等于改点到此球的一条直径距离的平方,试求此球面的质量。
-
确定函数f(x),φ(x),使曲线积分对于任何闭曲线L的积分都等于0,且f(0)=-1,φ(0)=0,试计算沿曲线L从点M0(0,1,0)到的曲线积分
-
计算下列二重积分:
-
-
计算下列三重积分:
-
计算下列曲线积分:
-
-
-
确定λ的值,使得在不经过直线y=0的区间上,曲线积分与路径无关,并求当L从点A(1,1)到B(0,2)时I的值.
-
-
设函数f(t)在内有连续导数,且满足.
-
计算下列曲面积分:
-
侧.
-
-
-
设为连续函数,曲面∑为长方体表面的外侧,计算
-
-
设f(t)为连续函数,证明:
-
二元函数P(x,y),Q(x,y)及η(x,y)在平面区域D上具有一阶连续偏导数,c是区域D的正向边界,证明:
-
设an>0,且收敛,,则级数( ).
-
下列个选项正确的是( ).
-
级数的收敛性( ).
-
设收敛,则级数( ).
-
若级数在x=1处收敛,则该级数在处( ).
-
设将f(x)作周期延拓,则所得傅里叶级数在x=π点收敛于-------------.
-
若级数,则--------------.
-
若幂级数的收敛区间为(-∞,+∞),则a应满足----------------.
-
级数的和为------------.
-
幂级数的收敛域为--------------.
-
判定下列级数的敛散性。
-
求下列级数的收敛区域。
-
求级数的和。
-
求幂级数的收敛域。
-
已知,证明当|x|<1时,幂级数收敛,并求其和函数。
-
将下列函数展开为x的幂级数。
-
将f(x)=sinx展成的幂级数。
-
设
(1)将f(x)展开成傅里叶级数;
(2)求该傅里叶级数的和函数S(x)及S(6);
(3)求的和;
-
设a0,a1,a2,…为等差数列,(a0≠0).
(1)求级数的收敛域;
(2)求的和。
-
设,判定的收敛性。
-
微分方程y(4)-y=ex+3sinx的特解可设为( ).
-
设y=f(x)是y″-2y′+4y=0的一个解,若f(x0)>0且f′(x0)=0,则f(x)在点x0处( ).
-
已知曲线y=y(x)经过原点,且在原点的切线平行于直线2x-y-5=0,而y(x)满足y″-6y′+9y=e3x,则y(x)等于( ).
-
如果二阶常系数非齐次线性微分方程y″+ay′+by=e-xcosx有一个特解y*=e-x(xcosx+xsinx),则( ).
-
若用代换y=zm可将微分方程y′=axα+byβ(αβ≠0)化为一阶齐次方程,则α,β应满足的条件是( ).
-
微分方程(ex+y+ex)dx+(ex+y-ey)dy=0的通解是( ).
-
( ).
-
( ).
-
微分方程xdy-ydx=y2eydy的通解为( ).
-
微分方程y″-4y′+5y=0的通解为( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
下列函数中,可作为某二阶微分方程的通解的是( ).
-
( )..
-
( ).
-
通解为( ).
-
( ).
-
( ).
-
为( ).
-
解的是( ).
-
( ).
-
方程yt-3yt-1=-4的一般解为( ).
-
高阶无穷小,y(0)=π,则y(1)等于( ).
-
( ).
-
若平面曲线C在各点德文切线恒垂直于切点与原点的连线,则此曲线的方程为( ).
-
( ).
-
由x2-xy+y2=C确定的隐函数满足的微分方程是( ).
-
设函数f(x)处处可微,且有f′(0)=1,并对任何x,y恒有f(x+y)=exf(y)+eyf(x),则f(x)=( ).
-
( ).
-
常数,则该方程的通解是( ).
-
方程的通解的充要条件为( )..
-
( ).
-
( ).(c1,c2为任意常数)
-
则该非齐次线性方程的通解可表示为( )..
-
为连续函数,则( ).
-
等于( ).
-
( ).
-
( ).
-
( ).
-
y(x)=( ).
-
下列等式中是一阶查分方程的是( ).
-
下列等式中,不是差分方程的是( ).
-
( ).
-
微分方程ydx+(x2-4x)dy=0的通解为--------------.
-
初值问题y″=e2y+ey,y(0)=0,y′(0)=2的解为-----------.
-
方程的通解为--------------.
-
方程的通解为--------------.
-
已知某二阶非齐次线性微分方程的三个解分别为y1=ex,y2=xex,y3=x2ex,则它的通解为-------------.
-
-------------.
-
微分方程的通解是-------------.
-
--------------.
-
---------------.
-
--------------.
-
---------------.
-
--------------.
-
--------------.
-
------------.
-
--------------.
-
--------------.
-
的特解为--------------.
-
则b=-----------,c=-----------------.
-
-----------.
-
=------------.
-
微分方程y″-2y′+2y=ex的通解为----------.
-
设y1(x)是方程y′+P(x)y=f1(x)的一个解,y2(x)是方程y′+P(x)y=f2(x)的一个解,则y=y1(x)+y2(x)是方程--------------的解.
-
---------------.
-
-------------.
-
-------------.
-
-----------------.
-
--------------.
-
----------------.
-
------------.
-
------------.
-
-------------.
-
------------.
-
与一族曲线中的每一条都交成直角的曲线叫做所给曲线族的正交轨线,若曲线族为x2+y2=2cx(c为常数),则此曲线族的正交轨线为------------.
-
-------------.
-
-------------.
-
---------------.
-
若二阶常系数线性齐次微分方程,则非齐次方程满足条件的解为y=------------.
-
通解,则该方程为--------------.
-
-------------.
-
---------------.
-
的两个解,则该方程为-------------.
-
,并在x=π处连续,其解为-------------.
-
-------------.
-
---------------.
-
--------------.
-
-------------.
-
------------.
-
--------------.
-
--------------.
-
------------.
-
某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加200万元,若以Wt表示第t年的工资总额(单位百万元),Wt满足的差分方程为--------------.
-
求方程的通解。
-
设函数f(u)在(0,+∞)内二阶可导且满足等式.
(1)验证;
(2)若f(1)=0,f′(1)=1,求函数f(u)的表达式。
-
微分方程y″+ay′+by=cex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,求a,b,c及方程的通解。
-
求x3y″′+x2y″-4xy′=3x2的通解。
-
求方程的通解。
-
设微分方程由通解y=(C1+C2x+x-1)e-x,求此微分方程。
-
设f(x)为偶函数,且满足,求f(x).
-
设有级数
(1)求此级数的收敛域;
(2)证明此级数的和函数y(x)满足微分方程y″-y=-1;
(3)求微分方程y″-y=-1的通解,并由此确定该级数的和函数.
-
设f(x),g(x)满足f′(x)=g(x),g′(x)=2ex-f(x)且f(0)=0,g(0)=2,求.
-
设微分方程试求在(-∞,+∞)内的连续函数y=f(x),使之在(-∞,0)和(0,+∞)都满足方程,并给出满足条件的特解。
-
求下列方程的通解:
-
求下列方程满足初始条件的特解:
-
-
=y(x),满足y(0)=0,且在区间内满足上述方程.
-
-
若F(x)是f(x)的一个原函数,G(x)是的一个原函数,且F(x)G(x)=-1,f(0)=1,求f(x).
-
-
数z.
-
-
作变换t=tanx把微分方程变换成y关于t的微分方程,并求原来微分方程的通解.
-
平面图形的面积。
-
-
-
求该方程及其通解.
-
-
-
-
证明平面曲线为圆周的充要条件是曲率半径为常数。
-
-
设A为n阶方阵,A*是A的伴随矩阵,则||A|A*|等于( ).
-
设A为n阶方阵,B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵,则有( ).
-
设3阶矩阵其中а,β,γ2,γ3均为3维行向量,且已知行列式|A|=18,|B|=2,则行列式|A-B|等于( ).
-
在函数中,x2的系数是-------------.
-
在n阶行列式D=|aij|中,当i<j时,aij=0(i,j=1,2,…,n),则D=-------------.
-
设A为4×4矩阵,B为5×5矩阵,且|A|=2,|B|=-2,则|-||A||B|=------------,|-||B||A|=-----------.
-
设A为3×3矩阵,|A|=-2,把A按行分块为其中Aj(j=1,2,3)是A的第j行,则行列式=----------------.
-
----------------.
-
=----------------.
-
=-----------------.
-
----------------.
-
---------------.
-
则x=----------------.
-
设行列式,则第四行各元素余子式之和的值为-------------.
-
设n阶(n≥3)行列式|A|=a,将|A|每一列减去其余的各列得到的行列式为|B|,则|B|=-------------.
-
计算A41+A42+A43+A44。其中A4j(j=1,2,3,4)是|A|中元素a4j的代数余子式。
-
计算元素为aij=|i-j|的n阶行列式。
-
计算n阶行列式
-
设a,b,c是互异的实数,证明:=0的充要条件是a+b+c=0.
-
证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.
-
设,证明:可以找到数δ(0<δ<1),使f′(δ)=0。
-
试证:如果n次多项式f(x)=C0+C1x+…+Cnxn对n+1个不同的x值都是零,则此多项式恒等于零。
-
设F(x)=,求F′(x).
-
设A=[aij]3×3是三阶非零矩阵,而且满足aij=-Aij(i,j=1,2,3),其中Aij为行列式|A|中aij的代数余子式,求行列式|A|的值。
-
已知A是2n+1阶方阵,且,E为2n+1阶单位矩阵,证明。
-
计算下列行列式:
-
设三阶方阵A、B满足A2B-A-B=E,其中E为三阶单位矩阵.若,求行列式|B|的值。
-
设A是n阶方阵,AAT=E,|A|<0,求|A+E|,其中AT是A的转置矩阵.
-
-
证明:
-
设行列式中的元素都是实数,而且至少有一个不为0,若aij=Aij(Aij是aij的代数余子式),证明Dn-2=1.
-
证明
-
------------.
-
--------------.
-
---------------.
-
--------------.
-
---------------.
-
设A、B、C均为n阶方阵,若A=CTBC,且|B|<0,则|A|--------------.
-
设n阶可逆矩阵A满足2|A|=|kA|,k>0,则k=----------------.
-
--------------.
-
已知AB-B=A,其中,则A=--------------.
-
设三阶方阵A、B满足关系式A-1BA=6A+BA,且则B=---------------.
-
设矩阵A、B满足A*BA=2BA-8E,其中E为单位矩阵,A*为A的伴随矩阵,则B=---------------.
-
设矩阵,A*为A的伴随矩阵,则A*(1,1,1)T+A*(1,2,1)T+A*(1,1,3)T=---------------.
-
设α为3维列向量,αT是α的转置,若,则αTα=-------------.
-
设n维向量α=(α,0,…,0,a)T,a<0,E为n阶单位矩阵,矩阵A=E-ααT,B=E+ααT,且B为A的逆矩阵,则a=---------------.
-
-----------------.
-
设,A*是A的伴随矩阵,则(A*)-1=------------------.
-
设A为n阶方阵,E为n阶单位矩阵,且A2=A,则(A-2E)-1=-------------------.
-
A、E均为三阶矩阵,E是3阶单位矩阵,已知AB=2A+B,,则(A-E)-1=----------------.
-
E为3阶单位矩阵,B=(A-E)-1(A+E),则(B-E)-1=--------------.
-
设n≥2为正整数,则Am-2An-1=--------------.
-
设B=P-1AP,其中P为三阶可逆矩阵,则B2004-2A2=-------------.
-
------------------.
-
设A、B均为n阶矩阵,|A|=2,|B|=-3,则|2A*B-1|=-----------------.
-
设矩阵矩阵B满足ABA*=2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则|B|=----------------.
-
设3阶方阵A=(α,γ1,γ2),B=(β,γ1,γ2)其中α,β,γ1,γ2都是3维列向量,且|A|=3,|B|=4,则|5A-2B|=---------------.
-
设α1、α2、α3均为3维列向量,记矩阵A=(α1,α2,α3) B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3)。如果|A|=1,那么|B|=---------------.
-
设α=(1,0,-1)T,矩阵A=ααT,n为正整数,则|2E-An|=-----------------.
-
A是n阶可逆矩阵,|A|=a,且A的各行元素之和均为b,则|A|的代数余子式之和=---------------.
-
A为m阶方阵,B为n阶方阵,且|A|=a,|B|=b,则|C|=--------------.
-
设ai≠0(i=1,2,…,n),bj≠0(j=1,2,…,m)则矩阵的秩r(A)=---------------.
-
当n矩阵A的秩r(A)<n时,|A|=--------------.
-
设A、B都是满秩的n阶方阵,则r(AB)=--------------.
-
设矩阵则A3的秩为-------------.
-
设矩阵且r(A)=3,则k=---------------.
-
已知(2E-C-1B)AT=C-1,其中E是四阶单位矩阵,AT是四阶矩阵A的转置矩阵,求矩阵A.
-
-
设求A-1.其中ai≠0,i=1,2,…,n.
-
(1)当a、b、c满足什么关系时,A是可逆矩阵?
(2)当a、b、c满足什么关系时,A是对称矩阵?
(3)当a、b、c满足什么关系时,A是正交矩阵?
-
已知A3=2E,且B=A2-2A+2E.求B一1.
-
设α、β为n维列向量,且常数ci≠0(i=1,2),证明:A=E-c1αβT是非奇异矩阵且A-1=(E-c1αβT)-1=E-(c1+2c2-c1c2βTα)αβT,其中E为n阶单位矩阵.
-
设A=E-ααT,其中E是n阶单位矩阵,α是n维非零列向量,αT是α的转置.证明:(1)A2=A的充要条件是αTα=1;(2)当αTα=1时,A是不可逆矩阵.
-
设A是n阶矩阵,且满足Am=E,其中m为整数,E为n阶单位矩阵.令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为,证明:
-
设A为n阶方阵,若对任意n维向量X=(x1,x2,…,xn)T都有AX=0.证明:A=0.
-
设A为n阶非零实方阵,aij=Aij(Aij为aij的代数余子式),证明:A的秩r(A)=n,且当n≥3时|A|=±1.
-
(1)设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,证明:若r(A)=n,则r(AB)=r(B).
(2)证明:
(3)设A、B分别为s×n,n×m矩阵,证明:r(A)+r(B)-n≤r(AB).
-
设向量组(Ⅰ):α1=(a11,a21,a31)T,α2=(a12,a22,a32)T,α3=(a13,a23,a33)T,向量组(Ⅱ):β1=(a11,a21,a31,a41)T,β2=(a12,a22,a32,a42)T,β3=(a13,a23,a33,a43)T,则( ).
-
设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm-1线性表示。记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则( ).
-
设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,E为m阶单位矩阵,若AB=E,则( ).
-
设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则对任意常数,必有( ).
-
设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有( ).
-
如果向量b可以由向量组α1,α2,…,α3线性表示,则( ).
-
设A是n阶矩阵,若|A|=0,则( )成立.
-
设有向量组α1=(1,-1,1,0),α2=(1,2,-1,0),α3=(0,1,1,1),α4=(2,2,1,1),则以下命题正确的是( ).
-
设有向量组α1=(6,λ+1,7),α2=(λ,2,2),α3=(λ,l,0)线性相关,则( ).
-
向量组α1,α2,…,αs线性相关的充要条件是( ).
-
已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则( ).
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n维向量组,α1,α2,…,αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是( ).
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下列命题中正确的是( ).
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设A是m×n矩阵,秩(A)=r<min(m,n),则A中必( ).
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设A是m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为r1,则( ).
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设3阶矩阵若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有( ).
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设α1,α2,α3线性无关,则与α1,α2,α3等价的是( ).
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矩阵A在( )时秩改变.
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设A、B分别为n×m,n×l矩阵,C为以A、B为子块的n×(m+l)矩阵,即C=(A,B),则( ).
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设点Mi(xi,yi)(i=1,2,3)为xoy平面上3个不同的点,则M1、M2、M3在同一条直线上的充分必要条件是( ).
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设A、B为四阶方阵,r(A)=4,r(B)=3,则r[(AB)*]=( ).
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设A为3阶方阵,α1,α2,α3是互不相同的3维列向量,且都不是方程组AX=0的解,若B=(α1,α2,α3)满足r(AB)<r(A),r(AB)<r(B),则r(AB)等于( ).
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设向量组(I)α1,α2,…,αs,其秩为r1,向量组(Ⅱ)β1,β2,…,βs,其秩为r2,且βi(i=1,2,…,s)均可以由α1,…,αs线性表示,则( ).
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A是n阶方阵,其秩r<n,则在A的n个行向量中( ).
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设向量组α1,α2,…,αs的秩为r,则( ).
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设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则( ).
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设n阶方阵A=(α1,α2,…,αn),B=(β1,β2,…,βn),AB=(γ1,γ2,…,γn),记向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αn,(Ⅱ):β1,β2,…,βn,(Ⅲ):γ1,γ2,…,γn,如果向量组(Ⅲ)线性相关,则( ).
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设A是m×n矩阵,A以列分块,记A=(α1,α2,…,αn),在A中划去第i列得到的矩阵记为B,B=(α1,αi-1,αi+1,…,αn),则r(A)=r(B)是αi可以由B的列向量线性表示的( ).
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设α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt为两个n维向量组,且秩(α1,α2,…,αs)=秩(β1,β2,…,βt)=r,则( ).
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对A分别按列和行分块,得则以下4命题①秩r(A)=2,②α2,α4线性无关,③β1,β2,β3线性无关,④α1,α2,α3线性相关中正确的是( ).
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设向量β可以由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm-1线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则( ).
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设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是( ).
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下列说法不正确的是( ).
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n维向量α1,α2,…,αs线性无关的充要条件是( ).
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设向量组α1、α2、α3线性无关,则下列向量组中线性无关的是( ).
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设α1,α2,…,αs均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是( ).
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设n维向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αs线性无关,(Ⅱ)β1,β2,…,βt线性无关,且αi不能由(Ⅱ)线性表示(i=1,2,…,s),βj且不能由(I)线性表示(j=1,2,…,t),则向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt( ).
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设向量α1、α2、α3线性无关,向量β1可由αl、α2、α3线性表示,向量β2不能由α1、α2、α3线性表示,则对任意常数k必有( ).
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设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有( ).
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若向量组α、β、γ线性无关,α、β,δ线性相关,则( ).
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向量组α1,α2,…,αs,线性无关的充分条件是( ).
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设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr可由向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βs线性表示,则( ).
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n维向量组α1,α2,…,αs线性无关的充分条件是( ).
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设n维列向量组α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,则n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关的充分必要条件是( ).
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设向量组α1,α2,…,αr(Ⅰ)是向量组α1,α2,…,αs(Ⅱ)的部分线性无关组,则( ).
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设n阶矩阵A与B等价,则必有( ).
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设a1=(2,1,0,5),a2=(-4,-2,3,0),a3=(-1,0,1,k),a4=(-1,0,2,1),则k=------------时,a1,a2,a3,a4,线性相关。
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当k=-------------时,向量β=(1,k,5)能由向量a1=(1,-3,2),a2=(1,-1,1)表示.
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设α=(1,0,-1,2)T,β=(0,1,0,2),矩阵A=α·β,则秩r(A)=--------------.
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向量α线性无关的充要条件是--------------.
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向量α1=(l,a,2),α2=(2,4,b)的线性相关,则a=--------------,b=--------------.
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设向量组α1=(1,2,3,4),α2=(2,3,4,5,),α3=(3,4,5,6),α4=(4,5,6,7),则秩(α1,α2,α3,α4)=---------------.
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向量组α1=(1,0,1,2),α2=(0,1,2,1),α3=(-2,0,-2,-4),α4=(0,1,0,1),α5=(0,0,0,-1),则向量组α1,α2,α3,α4,α5的秩为----------------.
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已知向量组(α1,α3),(α1,α3,α4),(α2,α3,)都线性无关,而(α1,α2,α3,α4)线性相关,则向量组(α1,α2,α3,α4)的极大无关组是---------------.
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设α=(1,0,-1,2),β=(0,1,0,2),则r(αTβ)=-----------------.
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设A是4×3的矩阵,且r(A)=2,而B=,则r(AB)=-----------------.
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设A为4阶方阵,且r(A)=3,A*为A的伴随矩阵,则r(A*)=---------------.
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设α1=(a,b,0),α2=(1,1,1),α3=(1,1,2),且r(α1,α2,α3)=3,则a,b应满足关系式--------------.
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已知向量组α1=(1,2,-1,1),α2=(2,0,t,0),α3=(0,-4,5,-2)的秩为2,则t=-------------.
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设n(n≥3)阶矩阵,若矩阵A的秩为n-1,则a=---------------.
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设α1=(1,1,1),α2=(a,0,b),α3=(1,3,2)线性相关,则a,b满足的关系是-----------.
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当向量β=(1,k,5)可由向量α=(1,-3,2),γ=(2,-1,1)线性表示时,k=-----------.
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已知Aα与α线性相关,则a=------------.
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设α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,t),当------------时,α1、α2、α3线性无关。
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设向量组α1,α2,α3线性无关,若lα2-α1,mα3-α2,α1-α3线性无关,则l,m的关系是---------------.
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设向量组α1,α2,α3线性无关,则向量组α1+α2,α2+α3,α1+α3线性---------------.
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已知3维向量空间的一个基为α1=(1,l,0T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T,则向量β=(2,0,0)T在这个基下的坐标是--------------.
-
-------------.
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设R3中的向量ξ在基α1=(1,-2,1)T,α2=(0,1,1)T,α3=(3,2,1)T下的坐标为(x1,x2,x3)T,它在基β1、β2、β3下的坐标为(y1,y2,y3)T,且y1=x1-x2-x3,y2=-x1+x2,y3=x1+2x3,则由基β1、β2、β3到基α1、α2、α3的过渡矩阵p=----------.
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在R3中,α1,α2,α3及β1,β2,β3是两组基,且β1=α2-α3,β2=2α1+α2-α3,β3=α1+2α2-α3,则由β1,β2,β3到α1,α2,α3的过渡矩阵是-------------.
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已知向量组α1=(t,2,1),α2=(2,t,0),α3=(1,-1,1),试求出t为何值时向量α1,α2,α3线性相关或线性无关.
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设有三维向量α1=,α2=,α3=,β=,问k为何值时,(1)β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式唯一;(2)β可由α1,α2,α3线性表示,但表达式不唯一;β不能由α1,α2,α3线性表示.
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已知m个向量α1,α2,…,αm线性相关,但其中任意m-1个都线性无关,证明:
(1)如果存在等式k1α1+…+kmαm=0,则这些系数k1,…,km或者全为零,或者全不为零。
(2)如果存在两个等式k1α1+…+kmαm=0,l1α1+…+lmαm=0,其中l1≠0,则.
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设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α,且Ak-1α≠0,证明:向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的。
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求下列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示。
(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,6),α3=(-1,-3,-4,-7),α4=(2,1,2,9).
(2)α1=(1,-1,2,4),α2=(0,3,1,2),α3=(3,0,7,14),α4=(-1,-2,2,0),α5=(2,1,5,10).
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已知向量组α1,α2,…,αn线性无关,讨论向量组α1,α1+α2,α1+α2+α3,…,α1+α2+…+αn的线性相关性.
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设α1=(1,-1,1),α2=(1,2,0),α3=(1,0,3),α4=(2,-3,7).问:
(1)α1,α2,α3是否线性无关?
(2)α4是否可由α1,α2,α3线性表示?如能表示,则求其表达式.
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设有向量组(Ⅰ):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,-1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T.试问:当a为何值时,向量组(Ⅰ)、(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(Ⅰ)、(Ⅱ)不等价?
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设矩阵求A的秩.
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在n维行向量组α1,α2,…,αr(r≥2)中,αr≠0,试证:对任意的k1,k2,kr-1,向量组β1=,α1+k1αr,β2=,α2+k2αr,…,βr-1=,αr-1+kr-1αr线性无关的充要条件是α1,α2,…,αr线性无关.
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设向量β可由向量组α1,α2,…,αr线性表示,但不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表示.证明:
(1)αr不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表示;
(2)αr能由α1,α2,…,αr,β线性表示.
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设α1,α2,…,αm及β为m+1个n维向量,且β=α1+α2+…+αm(m>1)证明:向量组β-α1,β-α2,…,β-αm线性无关的充分必要条件是α1,α2,…,αm线性无关.
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设α1,α2,…,αm是一组线性无关的向量,且.证明:向量组β1,β2,…,βm线性无关的充要条件是行列式
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设向量组α1,α2,…,α5的秩为r>0,证明:
(1)α1,α2,…,α5中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组;
(2)若α1,α2,…,α5中每个向量都可由其中某r个向量线性表示,则这r个向量必为α1,α2,…,α5的一个极大线性无关组。
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设向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αs.(Ⅱ)β1,β2,…,βt.(Ⅲ)α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt.的秩依次为r1,r2,r3.证明:max(r1,r2)≤r3≤r1+r2.
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设有向量组α1,α2,…,αr(r>1).β1=α2+α3+…+αr,β2=α1+α3+…+αr,…,βr=α1+α2+…+αr-1,证明:向量组α1,α2,…,αr与β1,β2,…,βr的秩相等。
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已知,P为三阶非零矩阵,且PQ=0.则( ).
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设A、B都是n阶非零矩阵,且AB=0,则A和B的秩( ).
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设A为m×n矩阵,齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是( ).
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齐次线性方程组的系数矩阵为A,存在方阵B≠0,使得AB=0.
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齐次线性方程组的基础解系中有( ).
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要使ξ1=(1,0,2)T,ξ2=(0,1,-1)T都是齐次线性方程组AX=0的解,只要系数矩阵为( ).
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线性方程组的增广矩阵经初等变换变为则当λ=( )时方程有解.
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非齐次线性方程组AX=b中未知数个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则( ).
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设A为4X5矩阵,且A的行向量组线性无关,则( ).
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n元线性方程组AX=b有唯一解的充要条件为( ).
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已知β1β2是非齐次方程组AX=b的两个不同的解,α1α2是其对应的齐次线性方程组的基础解系,k1、k2是任意常数,则方程组AX=b的通解必是( ).
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已知A为3阶矩阵,α1=(1,2,3)T,α2=(0,2,1)T,α3=(O,t,1)T为非齐次线性方程组AX=(1,0,0)T的三个解向量,则( ).
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n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,齐次线性方程组AX=O有两个线性无关的解,则( ).
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若A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,则( ).
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设A是m×n矩阵,则m<n是齐次线性方程组ATAX=O有非零解的( ).
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已知A为3×4矩阵,X=(x1,x2,x3,x4)T,AX=0有通解k(1,l,O,-1)T,其中k为任意常数,将A中去掉第i列(i=1,2,3,4)的矩阵记为Ai,则下列方程组中有非零解的是( ).
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设A为n阶矩阵,α是n维列向量,若秩=秩(A),则线性方程组( ).
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线性方程组有解的充分必要条件是(b1,b2,b3)T=( ).
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设α1=(a1,a2,a3)T,α2=(b1,b2,b3)T,α3=(c1,c2,c3)T,则三条直线a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0,a3x+b3y+c3=0,(其中ai2+bi2≠0,i=1,2,3)相交于一点的充要条件是( ).
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设矩阵Am×n的秩r(A)=m<n,Em为m阶单位矩阵,下述结论正确的是( ).
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设A是m×n矩阵,AX=0是AX=b的导出组,则下列结论正确的是( ).
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设A是n阶方阵,线性方程组AX=O有非零解,则线性非齐次方程组ATX=b对任何b=(b1,b2,…,bn)T( ).
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设n元齐次线性方程组AX=O,秩(A)=n-3,且α1,α2,α3为其3个线性无关的解,则( )为其基础解系.
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设α1,α2,α3,α4是4维非零列向量组,A=(α1,α2,α3,α4),A*是A的伴随矩阵,已知方程组AX=0的基础解系为k(1,0,2,0)T,则方程组A*X=0的基础解系为( ).
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设A为n阶方阵,则n元齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是|A|-----------.
-
当常数a=-----------时,方程组有非零解.
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设A=,B为三阶非零矩阵,且AB=0,则t=---------------.
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当λ=-------------时,方程组有解.
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若线性方程组有解,则常数a1,a2,a3,a4应满足条件-------------.
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设α1=(1+λ,1,1),α2=(1,1+λ,1),α3=(1,1,1+λ),若β=(0,λ,λ2)可以由αl、α2、α3线性表示且表示法是唯一的,则λ应满足的条件是------------.
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A为4阶方阵,r(A)=3,则A*X=0的基础解系所含解向量的个数为--------------.
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设A为4阶方阵,且r(A)=2,A*为A的伴随矩阵,则A*X=0的基础解系所含的解向量的个数为--------------.
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设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n-1,则线性方程组AX=O的通解为--------------.
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设A、B都是4阶方阵且AB=0,则r(A)+r(B)--------------.
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A、B都是n阶矩阵,且A≠0,AB=0,则|B|=-----------------.
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设A=,,,其中ai≠aj(i≠j)(i,j=1,2,…,n),则方程组ATX=B的解是-------------.
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已知方程无解,则a=--------------.
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设方程有无穷多个解,则a=--------------.
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,其中ai≠0(i=1,2,…,m),bj≠0(j=1,2,…,n),则线性方程组AX=0的基础解系含有解向量的个数是--------------.
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设A为n阶方阵,若对任意n×m(m≥n)矩阵B都有AB=0,则A=----------------.
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设A是n阶方阵,任何n维列向量都是方程组的解向量。则r(A)=----------------.
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线性方程组对任意常数b1b2,…,bn都有解的充要条件是件是r(A)=------------.(其中A为方程组的系数矩阵)
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己知四元非齐次方程组AX=b,r(A)=3,α1,α2,α3是它的三个解向量,且α1+α2=(1,1,0,2)T,α2+α3=(l,0,1,3)T,则AX=b的通解是-----------------.
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设A=(aij)m×n是正交矩阵,将A以行分块为,则方程组AX=b(b=(b1,…,bn)T)的通解为-------------.
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设方程组的每一个方程都表示一个平面,若系数矩阵的秩为3,则三平面的关系是--------------.
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设矩阵,求一个秩为2的方阵B,使AB=O.
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求一个齐次线性方程组,使它的基础解系由下列向量ξ1=(-1,0,1,2)T,ξ2=(0,1,-1,1)T构成.
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设方程组(Ⅰ)AX=0的基础解系为:α1=(1,1,1,0,2)T,α2=(1,1,0,1,1)T,α3=(1,0,1,1,2)T.
方程组(ⅡBX=0)的基础解系为:β1=(1,1,-1,-1,1)T,β2=(1,-1,1,-1,2)T,β3=(1,-1,-1,1,1)T.
(1)求线性方程组(Ⅲ):的基础解系及通解;
(2)求矩阵C=(AT,BT)的秩.
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设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为:k1(0,1,1,0)T+k2(-1,2,2,1)T.
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系;
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,求出非零公共解.
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设η1,η2,η3,η4是五元非齐次线性方程组AX=b的四个解,且秩(A)=3,又设:η1+η2+η3+η4=(4,-8,-12,12,16)T.η1+2η2+2η3+η4=(6,18,-18,-30,12)T,2η1+2η2+η3+η4=(18,-30,-36,30,36)T,求方程组AX=b的通解.
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己知4×5矩阵A=(α1,α2,α3,α4,α5),其中α1、α2、α3、α4、α5均为四维列向量,α1、α2、α4线性无关;又设:α3=α1-α4,α5=α1+α2+α4,β=2α1+α2-α3+α4+α5,求线性方程组AX=β的通解.
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设线性方程组,试就λ、μ讨论方程组的解的情况,
有解时求出其解。
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设α=(1,2,1)T,β=(1,0.5,0)T,γ=(0,0,8)T,A=αβT,B=βTα,求解方程组2B2A2X=A4X+B4X+γ,其中X=(x1,x2,x3)T.
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求一个矩阵X,使AX=B,其中
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.设方程组的系数行列式|A|=0,而|A|中的某个元素aij的代数余子式Aij≠0. -
设齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r≠0.
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设α1,α2,…,αs为s个线性无关的n维向量,证明:存在n个未知数的齐次线性方程组,使α1,α2,…,αs是它的一个基础解系。
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证明方程组的解全是方程(Ⅱ)b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解的充分必要条件是:向量β=(b1,b2,…,bn)可由向量组α1,α2,…,αs线性表示。其中αi=(αi1,αi2,…,αin)i=1,2,…,s.
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设AX=0与BX=0均为n元齐次线性方程组,秩r(A)=r(B),且方程组AX=0的解均为方程组BX=0的解,证明方程组AX=0与BX=0同解.
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设方程组为非齐次的(即至少有一个bi≠0),且系数矩阵的秩为r,证明:若方程组(Ⅰ)有解,则有n-r+1个解向量线性无关,且(Ⅰ)的每个解向量都可由它们线性表示.
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已知A=(aij),B=(bij)为两个n阶方阵.X为n阶方阵.证明:AX=B有解的充要条件是n+1个矩阵A,A1,A2,…,An的秩相等.
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设A为m×n矩阵(n<m),且AX=b有唯一解,证明:矩阵ATA为可逆矩阵,且方程组AX=b的解为X=(ATA)-1ATb(AT为A的转置矩阵).
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设有方程组
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已知是对称矩阵A的三个特征值为λ1=2,λ2=λ3=4,且对应于λ2,λ3的特征向量为ξ2=(1,1,-1)T,ξ3=(2,3,-3)T.
(1)求A的属于特征值λ1=2的特征向量;
(2)求矩阵A.
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征值,试求出可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵。
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最小时,求出正交矩阵P,使PTAP为对角矩阵.
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(1)求a、b;
(2)求一个可逆矩阵P,使P-1AP=B.
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设有三个非零的n阶(n≥3)方阵A1、A2、A3,满足Ai2=Ai(i=1,2,3),且AiAj=0(i≠j,i、j=1,2,3),证明:
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(1)若α1,α2,…,αr是A的属于特征值λ的特征向量,则α1,α2,…,αr的任一个非零线性组合也是A的属于λ的特征向量.
(2)矩阵可逆的充分必要条件是它的特征值都不为0.
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设n阶矩阵A有n个两两正交的特征向量,证明A是对称矩阵.
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设A、B均为n阶方阵,A有n个互异的特征值,且AB=BA,证明:B相似于对角矩阵.
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若n阶矩阵A满足A2-A=2E,则A一定相似于对角矩阵.
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设A、B都是n阶实对称矩阵,证明:存在正交矩阵Q,使Q-1AQ=B的充分必要条件是A与B有相同的特征值.
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某试验生产线每年一月份进行熟练工和非熟练工的人数统计,然后将的熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收的新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第n年一月统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量.
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设有n+1个人及供他们读的n种小册子,假定每个人都读了一些小册子(至少一本).
试证:这n+1个人中必可找到甲、乙两组人,甲组人读过的小册子与乙组人读过的小册子种类相同(即甲组人中每人读过的小册子合在一起,其种类与乙组人读过的小册子合在一起的种类相同)
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用正交变换将二次型化为标准形.
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求一个可逆线性变换X=PY将化成标准形。
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判定二次型的正定性.
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若存在可逆矩阵B使得实对称矩阵A=BTB,则A的主对角线上的元素全大于O.
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设A、B分别是m阶、n阶方阵,且.证明:
(1)若A、B都相似于对角矩阵,则C相似于对角矩阵;
(2)若A、B都是正交矩阵,则C为正交矩阵,反之也成立;
(3)若A、B是正定矩阵,则C为正定矩阵.
-
设A、B是任意两个事件,则下列不等式中成立的是( )。
-
设A、B为两个互不相容的事件且P(A)>0,P(B)>0,则下述结论成立的是( )。
-
若A、B互斥,且P(A)>0,P(B)>0,则下列式子成立的是( )。
-
设A,B互不相容,P(A)≠0,P(B)≠0,则下列结论肯定正确的是( )。
-
设事件A、B互不相容,且P(A)=p,P(B)=q,则=( )。
-
A和B伟任意两不相容事件,且P(A)P(B)>0,则必有( )。
-
设P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(B|A)=0.8,则下列结论中正确的是( )。
-
设A、B为随机事件,且P(B)>0,P(A|B)=1,则必有( )。
-
假设事件A和B满足P(B|A)=1,0<P(A),则( )。
-
对于任意两事件A和B,P(A-B)=( )。
-
A、B、C是任意三事件,下列各命题正确的是( )。
-
对于任意两事件A和B,若P(AB)=0,则( )。
-
以A表示事件"甲种产品畅销,乙种产品滞销",则其对立事件互为( )。
-
对于事件A、B、C,如果,则( )。
-
对于事件A、B,如果,则( ).
-
设事件A和B同时出现时事件C必出现,则( )。
-
对于事件A和B,与A∪B=B不等价的是( )。
-
设随机事件A和B互不相容,且P(A)=p,P(B)=q,则A和B中恰有一个发生的概率等于( )。
-
设随机事件A、B、C两两互不相容,且P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.4,则P((A∪B)-C)=( )。
-
若事件A、同时出现的概率P(AB)=0,则( )。
-
设随机事件A、B、C相互独立,则( )。
-
随机事件A和B相互独立,且P(A)=1/2,P(B)=1/3,则A和B中仅有一个发生的概率为( )。
-
下列各命题中正确的是( )。
-
设A、B、C是三个相互独立的随机事件,且O<P(C)<1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )。
-
设A、B、C是两两相互独立且三事件不能同时发生的事件,且P(A)=P(B)=P(C)=x,则使P(A∪B∪C)取最大值的x为( )。
-
对于任意二事件A和B( )
-
设0<P(A)<1,0<P(B)<1,,则( ).
-
设A、B是两个随机事件,且0<P(A)<1,P(B)>0,,则必有( ).
-
A、B为随机事件,满足0<P(A)<1,0<P(B)<1,且P(A-B)=0,则下列各式中成立的是( )。
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设A、B、C为三个事件,已知P(B|A)=O.6,P(C|AB)=0.4,则P(BC|A)=( )。
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己知0<P(B)≤1,且P[(A1UA2)B]=P(A1|B)+P(A2|B),则下列等式中成立的是( )。
-
在电炉上安装了4个温控器,其显示温度的误差是随机的.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0,电炉就断电.以E表示事件“电炉断电”,而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4),为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值,则事件E等于( )。
-
将一枚硬币独立地掷两次,以A1、A2、A3、A4依次表示事件“第一次出现正面”,“第二次出现正面”、“正、反面各出现一次”,“正面出现两次”,则事件( )。
-
某人向同一目标独立重复射击,每次命中目标的概率为p(0<p<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( )。
-
-------------.
-
已知两个事件A、B满足条件且P(A)=0.6,则P(B)=------------.
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---------------.
-
----------------.
-
-------------.
-
-------------.
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假设一批产品中一、二、三等品各占60% , 30% , 10% ,从中随机抽取一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率为---------------.
-
20个运动员中有两名国家队队员,现将运动员平分为两组,则两名国家队队员分在不同组的概率为------------.
-
----------------------------------------.
-
设事件A和B中至少有一个发生的概率为,A和B中有且仅有一个发生的概率为,那么A和B同时发生的概率为------------.
-
-------------.
-
设A、B是随机事件,P(A)=0.7,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P(AB)=--------------.P(B-A)=-----------.-----------.
-
-------------.
-
设一次试验中事件A 发生的概率为p ,又若已知三次独立试验中A 至少出现一次的概率等于,则p=--------------.
-
-----------.
-
--------------.
-
设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)=----------------.
-
=------------.
-
一袋中有50个乒乓球,其中20个红球,30个白球,今两人从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取到红球的概率为--------------.
-
甲袋中有5只白球,5只红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,5只红球,10只黑球,从两袋中各取一球,则两球颜色相同的概率为----------------.
-
在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率为------------.
-
连续做某种试验,每次试验只有成功、失败两种结果.已知当第k次成功时第k+1次成功的概率为1/2,当第k次失败时第k+1次成功的概率为3/4,如果第一次试验成功和失败的概率均为1/2,求第n次试验成功的概率。
-
一袋中装有N-1个黑球及一个白球,每次从袋中随机地摸出一球,并换入一个黑球,这样继续下去,问第k 次摸球时,摸到黑球的概率是多少?
-
在长为1的线段上任意取两个点,将其分成三段,求它们可以构成一个三角形的概率.
-
玻璃杯成箱出售,每箱20只,各箱含0、1、2只残次品的概率分别为0.8、0.1、0.1.一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意拿出一箱,顾客开箱随机察看四只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。试求:
(1)该顾客买下该箱杯子的概率;
(2)在顾客买下的一箱中确实没有残次品的概率.
-
设事件A在一次试验中出现的概率为p,问使A以不小于Q的概率至少出现一次,需要重复进行多少次试验?
-
将3个乒乓球放入4个杯子中,求杯子中球的最大个数为1,2,3的概率.
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一个房间中有n双不同型号的鞋子,今从中任取2k 只(2k<n)时,求下列事件的概率:
(1)没有2只能配成对(设为事件A);
(2)恰有2只能配成对(设为事件B);
(3)恰有2k只配成对(设为事件C).
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求下列事件的概率:
(1)n(n>3)个人坐成环形,求甲、乙、丙三个人坐在一起的概率;
(2)n(n>3)个人并排坐,求甲、乙、丙三个坐在一起的概率.
-
在某城市中,共发行三种报纸A、B、C,在这个城市中以户为单位订A报的占45﹪,订B报的占35﹪,订C报的占30﹪,同时订A、B报的占10﹪,同时订A、C报的占8﹪,同时订B、C的占5﹪,同时订三种报的占3﹪,求下列事件的概率:
(1)只订A报;
(2)只订A及B报;
(3)只订一种报纸;
(4)至少订一种报纸;
(5)一种报纸都不订。
-
设函数可以作为随机变量X的概率密度函数,则X可以充满的区间为( ).
-
下列函数中能作随机变量X的分布函数的是( ).
-
( ).
-
设随机变量分布,则X的分布函数为( ).
-
设随机变量X的概率密度函数,则Y=3X的概率密度函数为( ).
-
( )。
-
已知X~N(μ,σ2),则随σ的增大,P{|X–μ|<σ}是( ).
-
设X~N(2,22) ,其概率密度函数为f(x) ,分布函数F(x),则( ).
-
下列论断正确的是( ).
-
当=( )时,为离散型随机变量的概率分布。
-
设F1(x),F2(x)分别是随机变量X1,X2 的分布函数,为使F(x) = aF1(x) - bF2(x)是随机变量X的分布函数,则在下列给定的各组数中应取( ).
-
设离散型随机变量X的分布律为P{X=k}=bλk(k=1,2,…),且b>0,则λ为( ).
-
下列4个函数中,不能作为X的分布函数的是( ).
-
下列函数中,在内可以作为某个随机变量X的分布函数的是( ).
-
设随机变量X的分布函数为F(x),下列概率中可以表示为F(α)-F(α-0)的是( ).
-
F(x)为X的分布函数,则对任意实数a,有( ).
-
设随机变量X的概率密度函数为则其分布函数为( ).
-
设随机变量X服从正态分布,其概率密度函数处有驻点,且则X服从分布( ).
-
假设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y=min(X,2)的分布函数( ).
-
设随机变量X服从正态分布N(μ1 , σ12 ), Y 服从正态分布N(μ2 , σ22 ) ,且,则必有( ).
-
-----------.
-
------------.
-
----------.
-
-------.
-
设随机变量X的分布函数为则其概率密度函数为f(x)=-----------.
-
设随机变量X的概率密度函数为则其分布函数为F(x)=--------------.
-
-------------.
-
设随机变量X服从于参数为(2 ,p)的二项分布,随机变量Y 服从于参数为(3 ,p)的二项分布,-------------.
-
----------------.
-
--------------.
-
一实习生用同一台机器接连独立的制造了3个同种零件,第i个零件不合格的概率为以X表示3个零件中合格品的个数,则------------.
-
随机变量K在[0,5]上服从于均匀分布,则方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率为------------.
-
-------------.
-
设连续型随机变量X 的分布函数则k=-----------.
-
------------.
-
设随机变量X服从正态分布,其概率密度为则k=--------------.
-
随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),则A=--------------,B=-----------,X的概率密度函数为-------------.
-
设连续型随机变量X的分布密度为则a=-------------,X的分布函数为---------------.
-
----------------.
-
设随机变量X 的分布函数为则------------.
-
设随机变量X 的概率密度函数为则k的取值范围是-------------.
-
随机变量X的分布函数为,则A=---------,B=----------,------------.
-
----------.
-
--------------.
-
已知随机变量X服从参数为λ的指数分布,且矩阵的特征值全为实数的概率为1/2,则λ=--------------.
-
抛掷一枚匀称的硬币,设随机变量,则随机变量X的区间(0.5,2]上取值的概率为------------.
-
从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,…,X中任取一个数,记为Y,则-------------.
-
设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5,则μ=-------------.
-
口袋中有5个白球和3个黑球,任意取出一个,如果是黑球则这个黑球不再放回而另放入一个白球,这样继续下去直到取出的球是白球为止,求直到取到白球所需要抽取次数X的概率分布。
-
设随机变量X 的分布律为,求它的分布函数F(x).
-
-
设随机变量X的分布律为,求Y=X2的分布律.
-
(1)常数A、B;
(2)X的分布函数F(x);
(3)P{0.5 < X≤ 1. 5
-
设随机变量X的概率密度函数为,求Y=sinX的概率密度函数.
-
-
-
设A、B、C三事件相互独立,证明:A∪B,AB,A-B三事件均与C相互独立。
-
设试验E有4个基本事件,即,并且它们发生是等可能的,又设A1={w1,w2
-
-
-
-
假设随机变量X服从于参数为2的指数分布,证明:Y=1-e-2X在区间(0,1)上服从于均匀分布。
-
若f(x),g(x)在同一区间[a,b]上都是某随机变量的概率密度函数,证明:
(1)f(x)+g(x)在[a,b]上不是随机变量的密度函数;
(2)对任一常数是随机变量的概率密度函数。
-
,
-
设X、Y相互独立且同服从分布B(n,p),设Z=X+Y,证明Z~B(2p,p).
-
-
-
设(X,Y)的联合密度函数为则A=( ).
-
设(X,Y)的联合密度函数为( ).
-
设两个随机变量X与Y独立同分布,则下列式子中成立的是( ).
-
设二维随机变量(X,Y)服从于二维正态分布,则下列说法不正确的是( ).
-
设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),则Z=max{X,Y}的分布函数为( ).
-
以下函数中不能作为二维随机变量(X,Y)的分布函数的是( ).
-
X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则( ).
-
设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Y=y的条件下,X的条件概率密度FX|Y(x|y)为( ).
-
设X,Y是两个随机变量,则P{min(X,Y)≤1}=( ).
-
设随机变量且满足P{X1X2=0}=1,则P{X1=X2}等于( ).
-
ξ,η相互独立且在[O,1]上服从于均匀分布,则使方程x2+2ξx+η=0有实根的概率为( ).
-
设给出如下二维随机变量(X,Y),则X、Y不相互独立的是( ).
-
X,Y相互独立且都在[0,1]上服从均匀分布,则在D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上服从均匀分布的随机变量是( ).
-
设随机变量X和Y都服从正态分布,则( ).
-
设X,Y是相互独立的随机变量,其分布函数分别为FX(x)、FY(y),则Z=min(X,Y)的分布函数是( ).
-
设随机变量(X,Y)的联合密度函数的密度函数是( ).
-
设随机变量(X,Y)的联合密度为,则X-Y的密度函数等于( ).
-
随机变量与相互独立同分布,且与它们服从同一名称的概率分布,则和服从的分布是( ).
-
设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N(0,1),Y的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=记为随机变量Z=XY的分布函数,则函数FZ(z)的间断点个数为( ).
-
二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为-----------.
-
设随机变量(X,Y)的分布函数为则A=---------------,B=-------------,C=-------------.
-
设X,Y的联合分布律为且X,Y相互独立,则α=---------------,β=--------------.
-
已知(X,Y)的联合分布为则在Y=1的条件下,X的条件分布律为---------------.
-
设随机变量X、Y相互独立,且分别服从于参数为λ1和λ2的泊松分布,则X、Y的联合分布律为P{X=m,Y=n}=--------------.
-
设X,Y的联合密度为则边缘密度函数fx(x)=------------------.
-
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则随机变量Y的边缘密度函数为---------------.
-
已知X,Y的联合密度为则a=-------------,Y的边缘密度函数fY(y)=-------------.
-
二维随机变量(X,Y)在区域D:{(x,y)|a<x<b,c<y<d}上服从均匀分布,则X的边缘密度函数为fx(x)=-------------.
-
设相互独立的随机变量X,Y有相同的分布律,X的分布律为则Z=max[X,Y]的分布律为------------.
-
一个仪器由两个主要部件组成,其总长度为此二部件长度的和,这两个部件的长度X和Y是两个相互独立的随机变量,其分布律分别为则此仪器的长度Z的分布律为----------------.
-
设二维随机变量(X,¥)的概率密度函数为-----------------.
-
设(X,Y)的联合分布函数为则它们的联合密度函数为f(x,y)=-----------------.
-
设随机变量X和Y的概率分布为,则其联合分布函数F(x,y)=---------------.
-
设随机变量是Xi服从于参数λi(i=1,2)的泊松分布,且X1、X2相互独立,则P{X1=i|X1+X2=k}=-------------.
-
设平面区域D由曲线xy=1及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从于均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘楠率密度函数在x=2处的值为-------------.
-
设数X在区间(0,1)上随机的取值,当观察到X=x(0<x<1)时,数Y在区间(x,1)上随机取值,则fY(y)=---------------.
-
则随机变量X的边缘密度函数为fX(x)=---------------.
-
设随机变量X和Y的联合分布函数为,则随机变量X的分布函数为--------------.
-
设X,Y是两个随机变量,且则P{max(X,Y)≥0}=--------------.
-
设随机变量X和Y同分布,X的概率密度为已知事件A={X>a},B={Y>a}相互独立,且P(A∪B)=3/4,则a=-------------.
-
设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P{max(X,Y)≤1}=------------.
-
设随机变量(X,Y)的概率密度为,则P{X十Y≥1}等于-------------.
-
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则P{X十Y≤1}=---------------.
-
设随机变量X和Y相互独立,X在区间(0,2)上服从均匀分布,Y服从参数为1的指数分布,则概率P{X+Y>l}=----------------.
-
随机变量ξ的取值为-1和1,η的取值为-3、-2和-1,且P{ξ=-1}=O.4,则为某一连续型随机变量X的分布函数的概率是-------------.
-
已知随机变量X~N(-1,1),Y~N(3,1),且X、Y相互独立,Z=X-2Y,则Z~----------------.
-
X、Y相互独立,Z=X-Y,则Z的概率密度函数为fZ(z)=--------------.
-
设(X,Y)服从二维正态分布N(O,1;1,4;1/4)的,则Z=X-Y的密度函数fZ(z)=--------------.
-
将一枚硬币掷三次,以X表示三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现背面次数之差的绝对值,试写出X与Y的联合分布率与边缘分布率。
-
一射手进行射击,击中目标的概率为p(0<p<1),射击到击中两次为止,设以X表示首次击中目标所进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求:
(1)X和Y的联合分布率;(2)条件分布率。
-
已知随机变量X和Y的联合密度函数为
求:(1)常数k; (2)(X,Y)的联合分布函数; (3)P{0<x≤1,0≤y≤2};
(4)P{X<Y}; (5)问X与Y是否相互独立?
-
设X和Y相互独立,X服从参数为λ的泊松分布,其分布率为,其中λ>0,
-
设X,Y是相互独立且同服从于参数为λ的泊松分布的随机变量,即其中λ>0,k=0,1,2,…。
求:(1)M=max(X,Y)的分布率;(2)N=min(X,Y)的分布率。
-
随机变量(X,Y)的联合密度函数为
求:(1)常数c; (2)关于X和关于Y的边缘密度函数;
(3) (4)(X,Y)的联合分布函数;
(5)Z=X+Y的密度函数; (6);
(7)U=max(X,Y),V=min(X,Y)的密度函数.
-
设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度函数分别为求随机变量Z=X+Y的概率密度函数。
-
设随机变量X,Y相互独立,并分别在区间[-5,1]与[1,5]上服从于均匀分布,求随机变量Z=X+Y的概率密度函数。
-
设随机变量(X,Y)的联合密度函数为求Z=X-Y的概率密度函数.
-
某种商品一周的需求量是一个随机变量,其概率密度函数为设各周需求量相互独立,求:
(1)两周需求量的概率密度;(2)三周需求量的概率密度。
-
-
-
若离散型随机变量X的分布列维持则E(X)=( ).
-
设两个相互独立的随机变盘X和Y分别服从于N(0,1)和N(1,12),则( ).
-
若随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=0,则以下结论正确的是( ).
-
设X~N(2,12)Y~N(-1,12)且X,Y相互独立,令Z=3X-2Y,如Z~( ).
-
随机变量X的数学期望为10,方差为25,而Y=aX+b满足E(Y)=0,D(Y)=1,则常数a,b的取值为( ).
-
设随机变量X~N(0,1),Y~N(0,4),且相关系数ρXY=1,则( ).
-
设X,Y是两个随机变量,其相关系数存在,则下列命题正确的是( ).
-
设随机变量X、Y有正的方差,若ρXY=0,则( ).
-
设随机变量X1,X2,…Xn(n>1)独立同分布,且其方差σ2>1.令则( ).
-
设随机变量X和Y的方差存在且不等于0,则D(X十Y)=D(X)+D(Y)是X和Y( ).
-
对于任意两随机变量X和Y,若D(X)及D(Y)均存在且大于0,则与命题“X和Y不相关”不等价的是( ).
-
随机变量X、Y都服从正态分布且不相关,则它们( ).
-
将一枚硬币重复掷n次,以X和Y表示正面朝上和反面朝上的次数,则X、Y的相关系数等于( ).
-
随机变量(X,Y)服从二维正态分布,其边缘分布为X~N(1,1),Y~N(2,4),X与Y的相互关系为ρXY=0.5,且概率P{aX+bY≤1}=1/2,则( ).
-
已知二维随机变量(X,Y)的联合密度f(x,y)满足条件f(x,y)=f(-x,y)或f(x,y)=f(-x,-y),且ρXY存在,则ρXY=( ).
-
设随机变量X~N(0,1),随机变量则Y的数学期望E(Y)=----------.
-
设X是一个随机变量,其概率密度为则D(X)=-----------.
-
D(X)=4,D(Y)=9,ρXY=0.5,则D(X-Y)=-------------,D(X+Y)=-------------.
-
若X1,X2,X3两两不相关,且D(X1)=1(i=1,2,3),则D(X1+X2+X3)=-------------.
-
已知连续型随机变量X的概率密度为则X的方差为------------.
-
已知随机变量X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则参数n=--------------,p=------------.
-
设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为0.4,则E(X2)=--------------.
-
若X~P(λ)且P{X=2}=P{X=3},则E(X)=----------.D(X)=----------.
-
若随机变量X1,X2,X3相互独立且服从于相同的0-1分布P{X=1}=0.7,P{X=0}=0.3,则随机变量P{X=0}=0.3.则随机变量Y=X1+X2+X3服从于参数为--------------的----------------分布,且E(Y)=--------------.D(Y)=---------------.
-
设ξ,η相互独立且服从于,则随机变量ζ=ξ+3η服从于--------------分布,参数为--------------.
-
设X~N(1,22),Y=2X+1,则ρXY=----------------.
-
设随机变量X有E(X)=0,D(X)=1,E(aX+2)2=8(a>0),则a=--------------.
-
设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且已知E[(X-1)(X-2)]=1,则λ=--------------.
-
设X、Y相互独立,且E(X)=0,E(Y)=1,D(X)=1,D(Y)=4,则E(X2Y2)=--------------.
-
设E(X)=1,E(Y)=2,D(X)=1,D(Y)=4,ρXY=0.6,则E(2X-Y+1)2=--------------.
-
设随机变量X服从于参数为1的指数分布,则E(X+e-X)=--------------.
-
设ξη是两个相互独立均服从于正态分布的随机变量,则[E[|ε-η|]=--------------.
-
设随进变量X1,X2,X3相互独立,其中X1在[0,6]上服从均匀分布,X2~N(0,22),X3服从参数为λ=3的泊松分布,记随机变量Y=X1-2X2+3X3,则D(Y)=-------------.
-
设随进变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,则方差--------------.
-
随机变量X,Y相互独立同分布N(0,0.5)则D(|X-Y|)=-------------.
-
随机变量X和Y的联合概率分布为
则X和Y的相关系数ρ=------------,X2和Y2的协方差Cov(X2,Y2)=------------.
-
---------------.
-
设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为-------------.
-
设一次实验成功的概率为p,进行了100次独立重复实验,当p=---------------时,成功的次数的标准差的值最大,其最大值为=-------------.
-
-----------------.
-
设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P{X=EX2}=--------------.
-
设随机变量X具有密度函数则P{|X-E(X)|<2}=---------------.
-
已知随机变量X和Y相互独立,且X~N(1,1),Y~N(1,4),又P{aX+bY≤0}=1/2,则a与b应满足关系式=--------------.
-
设随机变量Xij(i,j=1,2,…n;n≥2)独立同分布,E(Xij)=2,的数学期望E(Y)=---------------.
-
要使E[Y-(aX+b)]2达到最小,则常数a=-------------.b=--------------.
-
设X、Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布。Z=max(X,Y),W=min(X,Y),求:
(1)E(Z),D(Z),E(W),D(W);(2)E(Z+W)。
-
设随机变量(X,Y)的概率密度函数为,求E(X),E(Y),Cov(X,Y),ρXY,D(X+Y).
-
设二维随机变量(X,Y)的联合分布如下表
求E(X),D(X),E(Y),D(Y),Cov(X,Y),ρXY.
-
设随机变量X在[-π,π]上服从于均匀分布,求:
(1)E[min(|X|,1)]; (2)E[max(|X|,1)].
-
设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,且均在区间[0,θ]上服从于均匀分布,设Y1=max{X1,X2,…Xn},Y2=min{X1,X2,…Xn},求E(Y1),E(Y2),D(Y1),D(Y2).
-
设连续型随机变量X的分布函数为
(1)求常数a、b;(2)求E(X),D(X).
-
设随机变量的数学期望为E(X),方差为D(X)(D(X)>0).引入新的随机变量:若随机变量X的概率密度为求X*的概率密度函数。
-
已知X、Y相互独立,试证明:D(XY)=D(X)D(Y)+E2(X)D(Y)+E2(Y)D(X).
-
随机变量X、Y相互独立且同服从分布N(μ,σ2),Z=max(X,Y).
证明
-
证明:D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y).
-
证明:E(X-c)2当c=E(X)时取得最小值D(X).
-
A、B是二随机事件,0<P(A)<1,0<P(B)<1,随机变量
试证明随机变量X、Y不相关的充要条件是A与B相互独立.
-
对于两个随机变量X、Y,若E(X2)及E(Y2)都存在,证明:[E(XY)]2≤E(X2)E(Y2).
-
设f(x)是随机变量X的概率密度函数,若对于常数c有f(c+x)=f(c-x)(x>0),且E(X)存在,证明:E(X)=c.
-
A和B是两个随机事件,且P(A)>0,P(B)>0,并定义:
证明:若X、Y不相关,则X、Y一定相互独立.
-
设X是连续性随机变量,P{|X|≤1}=1.证明:对任意0<ε≤1,有P{|X|≥ε}≥E(X2)-ε2.
-
对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其数学期望是2,方差是1.69.求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。
-
设某妇产医院生男婴的概率0.515,求新生的10000个婴儿中女婴不少于男婴的概率。
-
某单位有一台电话总机和200台电话分机,在同一时刻每台分机以0.05的概率使用外线,且每台分机使用外线与否是相互独立的。试用中心极限定理估计该单位总机需多少条外线,才能保证每台分机以90%的概率使用外线。
-
-
设随机变量X、Y相互独立且都服从于正态分布N(0,32),X1,X2,…,X9和Y1,Y2,…,Y9是分别来自总体X和Y的简单随机样本,求统计量的概率分布。
-
(3)设总体的容量为n=10的一组样本的观察值为(4,3,3,4,2,1,6,5,4,8),试求样本均值,样本方差和经验分布函数。
-
试确定常数c,使
-
从一批钉子中随机抽取16枚,测得其长度(单位:cm)为:2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉子的长度X服从于正态分布,在下列两种条件下分别求总体均值μ的置信度为0,90的置信区间。
(1)已知σ=0.01;(2)未知σ2。
-
对于σ2已知的正态总体,要使均值μ的1-α置信区间长度不大于2ε,抽取样本容量n至少为多大?
-
设样本来自总体X~N(μ,σ2),其中μ和σ2均为未知参数,设随机变量L是关于μ的置信度l-α的置信区间的长度,求E(L2).
-
从某种型号的晶体管中抽取10件做样本测量其寿命,测得寿命的标准差为s=45(小时),设这批晶体管的寿命服从于正态分布为未知,求σ2的置信度为0.975的单侧置信上限。
-
设总体,抽取样本,记其样本均值为,样本方差为如果再从该总体中抽取一个容量为n+1的样本记作Yn+1,证明:统计量
-
证明:统计量Z服从于自由度为2的t分布。
-
-
试证:样本均值是总体μ的一致估计(相合估计),而样本方差S2及样本的二阶中心矩都是总体方差σ2的一致估计(相合估计)。
-
设总体X的分布率为P{X=x}=(1-p)x-1p,x=1,2,…;X1,X2,…,Xn是来自X的样本,试求(1)p的矩估计量;(2)p的极大似然估计量。
-
设总体X服从于分布其中λ>0.若取得样本值x1,x2,…,xn,试求:(1)E(|X|),E(|X2|);(2)参数λ的极大似然估计值;(3)是否为参数A的无偏估计量?
-
-
设总体X~P(λ)(即X服从于参数为λ的泊松分布),其中λ>0.是来自总体的简单随机样本,证明:
-
证明:均匀分布中未知参数θ的极大似然估计量不是无偏的。
-
设分别自总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)中抽取n1、n2(n1、n2均大于1)的两独立样本,其样本方差分别为S12和S22.
证明:对于任意的常数a、b(a+b=1),Z=a S12+b S22是σ2的无偏估计量,并确定常数a、b,使D(Z)达到最小。
-
设总体X~N(μ0,σ2),μ未知,X1,X2,…,Xn为来自正态总体X的样本,记为样本均值,S2为样本方差,对假设检验H0:σ≥2;H1:σ<2,应取检验统计量χ2为( )。
-
在假设检验中,H0表示原假设,H1表示备择假设,则犯第一类错误的情况为( )。
-
设X1,X2,…X16是来自正态总体N(μ,22)的样本,样本均值为,则在显著性水平α=0.05下检验假设H0:μ=5;H1:μ≠5的拒绝域为--------------。
-
设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(μ,22)的样本,其中参数μ和σ2未知,记=,则假设H0:μ=μ0的t检验使用的统计量T=------------。
-
设总体X~N(μ0,σ2),u0为已知常数,(X1,X2,…,Xn)为来自正态总体X的样本,则检验假设的统计量是----------------;当H0成立时,服从---------------分布。
-
某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率(单位:cm/s)服从正态分布N(40,22)。现在用新方法生产了一批推进器,从中随机地抽取25只,测得其燃烧率的样本均值=41.25,问这批推进器的燃烧率是否有显著提高?(取显著性水平:α=0.05)
-
某批矿砂的5个样本品中的镍含量,经测定为(%) 3.24 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布,但参数均未知。问在а=0.01下能否接受假设:这批矿砂镍的含量均值为3.25。
-
( ).
-
( ).
-
级数(为常数)( ).
-
设区域D由直线,曲线以及x轴在第一象限围成,则( ).
-
设是矩阵,是矩阵,则方程组与同解的充分条件是( ).
-
设是4阶矩阵,若,,是非齐次线性方程组的三个解,为的伴随矩阵,则下列各命题中不正确的是( ).
-
设随机变量,且满足,则满足( ).
-
设连续型随机变量X的概率密度是f(x),y=g(x)是x的一个函数,则随机变量Y=g(X)一定是( ).
-
-----------.
-
-----------.
-
设为连续函数,,则-------------.
-
微分方程满足定解条件y(1)=1的特解是-----------.
-
已知,,且,则---------------.
-
设随机变量X取非负整数值的概率为,则EX=-------------.
-
(本题满分10分)
-
(本题满分10分)
(1)求证:对任何0<|x|≤1,存在θ(x)∈(0,1),使得.
(2)
-
(本题满分10分)
计算.
-
(本题满分10分)
求二元函数在区域上的最大值与最小值。
-
(本题满分10分)
已知是的一个原函数,而是微分方程满足初始条件的解,试将展开成的幂级数,并求的值。
-
(本题满分11分)
已知4×3矩阵,其中均为4维列向量,若非齐次线性方程组的通解为,k为任意常数。令,试求的通解。
-
(本题满分11分)
设二次型,矩阵A满足AB=0,其中。
(1)用正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换;
(2)求。
-
(本题满分11分)
设X与Y都是只取非负整数值的离散型随机变量,X服从参数为λp的泊松分布,在X=m为已知时,Y的条件概率为其中λ>0,0<p<1,求:
(1)(X,Y)的联合概率分布;
(2)(X,Y)中关于Y的边缘概率函数;
(3)在Y=n条件下,关于X的条件概率函数。
-
(本题满分11分)
设总体,是来自总体的一个样本,且,,试求统计量的分布。
-
设曲线在原点处与相切,,为常数,且,则等于( )。
-
,则对于任何必有( )。
-
( )。
-
已知函数在区间上可积,且满足,则函数的解析式是( )。
-
设为矩阵,,,为维非零列向量,则非齐次线性方程组( )。
-
是齐次方程组有非零解的( )。
-
设随机变量X的分布函数F(x)为严格单调增加的连续函数,Y在区间[0,1]上服从均匀分布,表示F(y)的反函数,则随机变量的分布函数( )。
-
设随机变量X与Y都服从正态分布N(0,1),则下列选项正确的是( )。
-
设二阶可导,,它的反函数是,又,则-----------。
-
设连续,且当时,是与等价的无穷小量,则-------------。
-
------------------。
-
设,则常数p的取值范围是--------------。
-
已知向量组线性无关,则向量,,,,的秩为---------------。
-
设总体X的概率密度为,其中为已知,是未知参数,是取自总体X的样本观察值,则θ的最大似然估计值-------------。
-
(本题满分10分)
求函数的极值与最值及单调区间。
-
(本题满分10分)
设,求及。
-
(本题满分10分)
求幂级数的收敛半径与收敛域。
-
(本题满分10分)
确定常数a与b的取值,使得。
-
(本题满分10分)
设且,求定积分。
-
(本题满分11分)
设B是阵,可逆,,其中E是n阶单位矩阵.
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)证明:
(Ⅲ)若,且A可对角化,求行列式。
-
(本题满分11分)
已知矩阵和,试判断矩阵A和B是否相似,若相似则求出可逆矩阵P,使,若不相似则说明理由。
-
(本题满分11分)
设随机变量X1与X2相互独立,且X1~N(0,1),X2服从的指数分布,试求:
-
(本题满分11分)
设X,Y是两个离散型随机变量,X只取-1和1两个值,Y只取-1,0,1三个值,已知EX=0.2,EY=0.25,,,,试求:
(Ⅰ)X与Y的联合概率分布与它们的协方差;
(Ⅱ)X与Y2的联合概率分布与它们的协方差。
-
( ).
-
( ).
-
设是二阶常系数微分方程满足初始条件的特解,则当时,函数的极限( ).
-
设函数,且,则在点x=0处( ).
-
设,B是2阶矩阵,且满足,是任意常数,则B=( ).
-
设则必有( ).
-
( ).
-
将一枚硬币抛次,表示正面向上的次数,表示反面向上的次数的相反数,则与的相关系数为( ).
-
=-------------.
-
=-------------.
-
设函数z=f(x,y)的二阶偏导数存在,,且f(x,0)=1,,则f(x,y)=-----------------.
-
二阶微分方程满足条件,的特解是y=---------------.
-
已知矩阵只有一个线性无关的特征向量,那么矩阵A的特征向量是----------------.
-
根据以往数据表明,当机器调整良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为,每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为75%,若已知整批产品的合格率为75%,则=--------------.
-
(本题满分10分)
-
(本题满分10分)
-
(本题满分10分)
设函数在内可导与是内的两点,由下式定义:
证明:对与之间的任何值,在与之间至少存在一点使.
-
(本题满分10分)
计算二重积分,其中,表示不超过的最大整数.
-
(本题满分10分)
证明当且时成立。
-
(本题满分11分)从数集{1,2,3,4,5}中每次任取一个数(取后放回),用bi表示第i次取出的数(i=1,2,3).记列向量b=(b1,b2,b3)T,如果三阶矩阵,求线性方程组AX=b有解的概率.
-
(本题满分11分)
已知方程组有无穷多解,矩阵A的特征值是1,-l,0,对应的特征向量依次是,,。
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)求的基础解系。
-
(本题满分11分)
-
(本题满分11分)
设随机变量(X,Y)的联合密度为,又设,。
(Ⅰ)求在的条件下X的条件概率密度及X,Y的相关系数;
(Ⅱ)求U,V的联合分布。
-
设函数在区间内二次可导,已知,且当时成立,则( ).
-
已知且f(0)=0,则等于( ).
-
( ).
-
若都存在,则在处( ).
-
设A是矩阵,则下列4个命题
①若,则非齐次线性方程组必有解
②若,则齐次方程组只有零解
③若,则非齐次线性方程组有唯一解
④若,则齐次方程组只有零解
中正确的是( ).
-
若,均为n阶方阵,且又非奇异,则( ).
-
( ).
-
设随机变量与相互独立,且服从区间(0,2)上的均匀分布,服从参数为1的指数分布,则概率的值为( ).
-
数列极限=---------------.
-
=---------------.
-
--------------.
-
设正项级数收敛,则级数的敛散性为---------------.
-
设实方阵满足(为的代数余子式,,=l,2,3,4),=-1,则的解为----------------.
-
袋内有a个红球与2a个白球,每次随机地摸出一个球,若是红球,则将该球放回去并且再加进a个红球,然后再从袋中任取一个球,如果仍是红球,则再将该球放回去并加进a个红球,如此继续,直至摸到白球为止,则第n次才摸到白球的概率是--------------.
-
(本题满分10分)
设函数具有三阶导数,又设是的反函数。若,求,及.
-
(本题满分10分)
已知函数满足,设,对函数,求证。
-
(本题满分10分)
计算其中
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求
-
(本题满分10分)
-
(本题满分10分)
设积分区域,求。
-
(本题满分11分)
设为三维单位列向量,并且,记。
证明:
(Ⅰ)齐次线性方程组Ax=0有非零解;
(Ⅱ)A相似于矩阵。
-
(本题满分11分)
已知A是矩阵,齐次方程组的基础解系是,
又知齐次方程组的基础解系是。
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)如果齐次线性方程组与有非零公共解,求的值并求公共解。
-
(本题满分11分)
设有一批产品成箱出售,每箱有产品l0件,各箱含1件次品、2件次品、3件次品的概率分别为60%,20%和20%.顾客购买时,由售货员随意选一箱,顾客开箱任取4件进行检验,若发现次品不多于l件,则确定购买此箱产品,否则不买。
(Ⅰ)求顾客购买一箱产品的概率;
(Ⅱ)若顾客共挑选l50箱这样的产品,求确定购买产品箱数的数学期望与方差。
-
(本题满分11分)
-
下列命题中正确的是( ).
-
设为微分方程满足=1的解,而,则( ).
-
设函数当时具有二阶连续导数,令,则当x,y,z与t不全为零时( ).
-
若都存在,则在处( ).
-
设A为n阶矩阵,对于齐次线性方程(Ⅰ)和(Ⅱ),则必有( ).
-
设矩阵,则下列矩阵中与A相似的为( ).
-
设随机变量X服从参数为λ(λ>0)的指数分布,事件A={X≥0},B={X≥2},C={X<2},D={X=5},则下列结论一定正确的是( ).
-
设随机变量X的分布函数为F(X),已知,且其概率密度,其中,分别是正态分布与参数为λ的指数分布的概率密度,则( ).
-
------------.
-
设,且f(u)及g(u)二阶可导,则------------.
-
由于折旧等因素,某机器转售价格是时间t(周)的减函数(元),其中A是机器的最初价格,在任何时间t,机器开动就能产生的利润,则使转售出去总利润最大时机器使用的时间t=-------------周.
-
--------------.
-
设阶矩阵满足(是n阶单位矩阵,是的转置),则||=---------------.
-
设随机变量X服从参数为λ的指数分布,,则的联合分布函数为F(x,y)=--------------.
-
(本题满分10分)
设函数,确定常数λ的最小正值,使得函数f(x)在区间上连续.
-
(本题满分10分)
设,求.
-
(本题满分10分)
设函数在区间上连续,且,求证:存在使得。
-
(本题满分10分)
设
(1)求幂级数的和函数;
(2)求的极值.
-
(本题满分10分)
-
(本题满分11分)
已知列向量组线性无关,列向量组,可由线性表示.且记矩阵,证明:向量组线性相关的充分必要条件为矩阵C的秩。
-
(本题满分11分)
设、为三阶相似非零实矩阵,矩阵满足(i,j=1,2,3)为的代数余子式,矩阵满足,计算行列式.
-
(本题满分11分)
设随机变量X的概率密度为:记随机变量.
(1)求Y的密度函数;
(2)计算。
-
(本题满分11分)
某商品一周的需求量X是随机变量,已知X的概率密度为,假设各周的需求量相互独立,以表示k周的总需求量,试求:
(1)和的概率密度;
(2)接连三周中的周最大需求量的概率密度.
-
设曲线在原点处与相切,,为常数,且≠0,则等于( ).
-
( )。
-
( )。
-
设函数具有一阶连续偏导数,且确定隐函数,则( ).
-
设为矩阵,,,为维非零列向量,则非齐次线性方程组( ).
-
设A是矩阵,则下列4个命题
①若,则非齐次线性方程组必有解
②若,则齐次方程组只有零解
③若,则非齐次线性方程组有唯一解
④若,则齐次方程组只有零解
中正确的是( ).
-
设随机变量X取任何实数a的概率都是0,F(x)是X的分布函数,则( )。
-
设为概率密度,则k的值为( ).
-
已知是微分方程满足初始条件的解,则=-------------------.
-
设多项式在处有等于6的极大值,在处有等于2的极小值,则其中次数n最低的多项式=--------------.
-
=------------.
-
=--------------.
-
已知向量组线性无关,则向量,,,,的秩为--------------.
-
=------------.
-
(本题满分10分)
设,求及。
-
(本题满分10分)
设函数具有三阶导数,又设是的反函数。若,求,及。
-
(本题满分10分)
-
(本题满分10分)
-
(本题满分10分)
求微分方程满足初始条件的特解,其中连续函数满足条件。
-
(本题满分11分)
已知A是矩阵,齐次方程组的基础解系是,又知齐次方程组的基础解系是。
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)如果齐次线性方程组与有非零公共解,求的值并求公共解。
-
(本题满分11分)
已知实二次型的矩阵满足,且,其中。
(Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换及所得标准形;
(Ⅱ)求出二次型的具体表达式。
-
(本题满分11分)
-
(本题满分11分)
设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布,在X=x(0<x<1)的条件下,随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布,求:
(Ⅰ)条件概率密度;
(Ⅱ)概率。
-
下列函数中,在x=0处不可导的是( )。
-
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且,则( )。
-
,,,则( )。
-
设某产品的成本函数C(Q)可导,其中Q为产量,若产量为Q0时平均成本最小,则( )。
-
下列矩阵中,与矩阵相似的为( )。
-
设A、B为n阶矩阵,记r(X)为矩阵X的秩,(X,Y)表示分块矩阵,则( )。
-
设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且,则P{X<0}=( )。
-
设X1,X2,…,Xn(n≥2)为来自总体N(μ,σ2)(σ>0)的简单随机样本,令,,则( )。
-
曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是__________
-
--------------。
-
差分方程Δ2yx-yx=5的通解为_______。
-
设函数f(x)满足f(x+Δx)-f(x)=2xf(x)Δx+o(Δx)(Δx→0),且f(0)=2,则f(1)=_________
-
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3为线性无关的向量组。若Aα1=α1+α2,Aα2=α2+α3,Aα3=α1+α3,则|A|=_________。
-
随机事件A、B、C相互独立,且P(A)=P(B)=P(C)=1/2,则P(AC|A∪B)=_________。
-
(本题满分10分)
已知实数a、b满足,求a,b。
-
(本题满分10分)
平面内的区域D由曲线和直线及y轴围城,试求二重积分。
-
(本题满分10分)
将长为2m的钢丝分为三段,依次围成成圆、正方形和正三角形,三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值。
-
(本题满分10分)
已知(-1<x<1),求an。
-
(本题满分10分)
数列{xn},x1>0,。证明{xn}收敛,并求。
-
(本题满分11分)
设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数,
(I)求f(x1,x2,x3)=0的解;
(II)求f(x1,x2,x3)的规范形。
-
(本题满分11分)
已知a是常数,且矩阵可经初等列变换化为矩阵
(I)求a;
(II)求满足AP=B的可逆矩阵P。
-
(本题满分11分)
设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P{X=1}=P{X=-1}=1/2,Y服从参数为λ的泊松分布,令Z=XY。
(I)求Cov(X,Z);
(II)求Z的概率分布。
-
(本题满分11分)
已知总体X的密度函数为
其中σ∈(0,+∞)为未知参数,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本,记σ的最大似然估计量为。
-
若函数在处连续,则( ).
-
二元函数的极值点是( ).
-
设函数可导,且,则( ).
-
若级数收敛,则=( ).
-
设为n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则( ).
-
已知矩阵,则( ).
-
设,,为三个随机事件,且与相互独立,与相互独立,则与相互独立的充分必要条件是( ).
-
设为来自总体的简单随机样本,记,则下列结论正确的是( ).
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____________。
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差分方程通解为_______。
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设生产某产品的平均成本,其中为产量,则边际成本为___________。
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设函数具有一阶连续偏导数,且,,则___________。
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设矩阵,、、为线性无关的维列向量组,则向量组的秩为__________。
-
设随机变量的概率分布为,若,则____________。
-
求极限。
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计算积分,其中D是第一象限中以曲线与x轴为边界的无界区域.
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求.
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已知方程在区间(0,1)内有实根,确定常数k的取值范围.
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设,,为幂级数的和函数.
(I)证明的收敛半径不小于1.
(II)证明,并求表达式.
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设3阶矩阵有3个不同的特征值,且.
(I)证明;
(II)若,求方程组的通解.
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设二次型在正交变换下的标准形为,求的值及一个正交矩阵.
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设随机变量,相互独立,且的概率分布为,Y的概率密度为.
(I)求;
(II)求的概率密度.
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某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n次测量,该物体的质量是已知的,设n次测量结果相互独立,且均服从正态分布.该工程师记录的是n次测量的绝对误差,利用估计.
(I)求的概率密度;
(II)利用一阶矩求的矩估计量;
(III)求的最大似然估计量.
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设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导函数的图形如图1所示,则( )。
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已知函数,则( )。
-
设,其中,则( )。
-
级数为(k为常数)( )。
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设A,B是可逆矩阵,且A与B相似,,则下列结论错误的是( )。
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设二次型的正负惯性指数分别为1,2,则( )。
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设A、B为两个随机事件,且,如果,则( )。
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设随机变量X与Y相互独立,且,则D(XY)=( )。
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已知函数f(x)满足__________。
-
极限____________。
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设函数f(u,v)可微,z=z(x)由方程确定,则________。
-
设,则___________。
-
行列式_________。
-
设袋中有红、白、黑球各1个,从中有放回地取球,每次取1个,直到三种颜色的球都取到时停止,则取球次数恰好为4的概率为________。
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(本题满分10分)
求极限。
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(本题满分10分)
设某商品最大需求量为1200件,该商品的需求函数Q=Q(P),需求弹性,P为单价(万元)。
(Ⅰ)求需求函数的表达式;
(Ⅱ)求P=100万元时的边际收益,并说明其经济意义。
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(本题满分10分)
设函数,求并求f(x)的最小值。
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(本题满分10分)
设函数f(x)连续,且满足,求f(x)。
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(本题满分10分)
求幂级数的收敛域及和函数。
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(本题满分11分)
设矩阵,且方程组无解。
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求方程组的通解。
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(本题满分11分)
已知矩阵。
(Ⅰ)求A99;
(Ⅱ)设3阶矩阵B=(α1,α2,α3)满足B2=BA。记B100=(β1,β2,β3),将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合。
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(本题满分11分)
设二维随机变量(X,Y)在区域上服从均匀分布,令
(Ⅰ)写出(X,Y)的概率密度;
(Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由;
(Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)。
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(本题满分11分)
设总体X的概率密度为,其中为未知参数,X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本,令。
(Ⅰ)求T的概率密度;
(Ⅱ)确定,使得为的无偏估计。
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设是数列,下列命题中不正确的是( )。
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设函数在(-∞,+∞)内连续,其二阶导函数的图形如图1所示,则曲线的拐点个数为( )。
图1
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设,函数在D上连续,则( )。
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下列级数中发散的是( )。
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设矩阵,若集合Ω={1,2},则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为( )。
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设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为,其中P=(e1,e2,e3)若Q=(e1,-e3,e2)则f=(x1,x2,x3)正交变换x=Qy下的标准形为( )。
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若A,B为任意两个随机事件,则( )。
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设总体,,,…,为来自该总体的简单随机样本,为样本均值,则( )。
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____________。
-
设函数连续,,若,,则____________。
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若函数由方程确定,则_________。
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设函数是微分方程的解,且在处取得极值3,则__________。
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设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,,其中E为3阶单位矩阵,则行列式___________。
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设二维随机变量服从正态分布,则__________。
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(本题满分10分)
设函数。若与在时是等价无价穷小,求a,b,k的值。
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(本题满分10分)
计算二重积分,其中。
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(本题满分10分)
为了实现利润的最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型,设Q为该商品的需求量,P为价格,MC为边际成本,为需求弹性()
(Ⅰ)证明定价模型为;
(Ⅱ)若该商品的成本函数为,需求函数为,试由(Ⅰ)中的定价模型确定此商品的价格。
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(本题满分10分)
设函数在定义域上的导数大于零,若对任意,曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4,且,求表达式。
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(本题满分10分)
(Ⅰ)设函数,可导,利用导数定义证明;
(Ⅱ)设函数,,…,可导,,写出的求导公式。
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(本题满分11分)
设矩阵,且
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若矩阵满足其中为3阶单位矩阵,求。
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(本题满分11分)
设矩阵相似于矩阵
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵。
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(本题满分11分)
设随机变量X的概率密度为,对X进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记Y为观测次数。
(Ⅰ)求Y的概率分布;
(Ⅱ)求E(Y)。
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(本题满分11分)
设总体X的概率密度为其中为未知参数,为来自该总体的简单随机样本。
(Ⅰ)求的矩估计量;
(Ⅱ)求的最大似然估计量。
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设,则当充分大时,下列正确的有( ).
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下列曲线有渐近线的是( ).
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设,则当时,若是比高阶的无穷小,则下列选项中错误的是( ).
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设函数具有二阶导数,,则在上( ).
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行列式等于( ).
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设是三维向量,则对任意的常数,向量,线性无关是向量线性无关的( ).
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设事件A,B相互独立,则( ).
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设为来自正态总体的简单随机样本,则统计量服从的分布是( ).
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设某商品的需求函数为(为商品的价格),则该商品的边际收益为_________.
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设D是由曲线与直线及所围成的有界区域,则D的面积为__________.
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设,则___________.
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二次积分____________.
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设二次型的负惯性指数是1,则的取值范围是____________.
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设总体X的概率密度为,其中是未知参数,是来自总体的简单样本,若是的无偏估计,则常数=__________.
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(本题满分10分)求极限.
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(本题满分10分)设平面区域,计算.
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(本题满分10分)设函数f(u)具有二阶连续导数,满足,若,求f(u)的表达式.
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(本题满分10分)求幂级数的收敛域和函数.
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(本题满分10分)设函数在区间上连续,且单调增加,,证明:;.
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(本题满分11分)设,E为三阶单位矩阵,求方程组的一个基础解系;求满足的所有矩阵.
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(本题满分11分)证明:阶矩阵与相似.
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(本题满分11分)设随机变量X的分布为,在给定的条件下,随机变量服从均匀分布,求的分布函数;求期望
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(本题满分11分)设随机变量X,Y的概率分布相同,X的概率分布为,且X,Y的相关系数。求二维随机变量的联合概率分布;求概率.
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当时,用表示比的高阶无穷小,则下列式子中错误的是( ).
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设函数的可去间断点个数为( ).
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设是圆域位于第K象限的部分,记则( ).
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设为正项数列,下列选项正确的是( ).
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设矩阵ABC均为n阶矩阵,若AB=C,则B可逆,则( ).
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若矩阵和相似的充分必要条件为( ).
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设是随机变量,且,则则( ).
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设随机变量和相互独立,则和的概率分布分别为:
则( ).
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设曲线和在点(1,0)处有公共的切线,则=__________.
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设函数由方程确定,则=___________.
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求=___________.
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微分方程的通解为y=____________.
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设A=()是三阶非零矩阵,为的行列式,为的代数余子势,若+=0,则=_____________.
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设随机变量服从标准正态分布,则=_____________.
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(本题满分10分)当时,与为等价无穷小,求与的值.
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(本题满分10分)设是由曲线,直线及轴所围成的平面图形,分别是绕轴,轴旋转一周所得旋转体的体积,若,求的值.
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(本题满分10分)设平面内区域由直线及围成,计算.
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(本题满分10分)设生产某产评的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,价格函数为,(是单价,单位:元;是销量,单位:件),已知产销平衡,求:
(Ⅰ)该商品的边际利润.
(Ⅱ)当时的边际利润,并解释其经济意义.
(Ⅲ)使得利润最大的定价.
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(本题满分10分)设函数在上可导,且,证明:
(Ⅰ)存在,使得。
(Ⅱ)对于(1)中的,存在,使得。
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(本题满分11分)设,,当为何值时,存在矩阵使得,并求所有矩阵。
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(本题满分11分)设二次型,记。
(Ⅰ)证明二次型对应的矩阵为;
(Ⅱ)若正交且均为单位向量,证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。
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(本题满分11分)设(X,Y)是二维随机变量,X的边缘概率密度为,在给定X=x(0<x<1)的条件下,Y的条件概率密度为.(Ⅰ)求的概率密度
(Ⅱ)的边缘密度